正多面体について第１の問題は何かと問われたならば，それは正多面体は何種類あるかという問題だろう．その答えが５種類になることはユークリッド原論に載っているが，その回答を与えたのが誰かは実はよくわかっていない．

　素数に関する最も古くから知られている結果「素数は無限にある」もユークリッド原論に載っている．素数が有限個しかかないと仮定して，背理法で矛盾を導き出すのである．

　素数を小さい方から順にｐ1＝２，ｐ2＝３，・・・，ｐn（最大の素数）とする．

　　ｑ＝（ｐ1ｐ2・・ｐn）＋１＝２（ｐ2・・ｐn）＋１・・・奇数

が素数であるとするとｐnより大きな素数が存在することになり矛盾．合成数であるとするとｐkで割り切れることになり再び矛盾．

　したがって，素数が有限個しかかないという最初の仮定が間違っていたことになる．したがって，素数は無限に存在する．

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［Ｑ］４ｎ＋３型奇数の中に素数が無限にあることを証明せよ．

　４ｎ＋３型素数を小さい方から順にｐ1＝３，ｐ2＝７，・・・，ｐn（最大の４ｎ＋３型素数）とする．

　　ｑ＝４（ｐ1ｐ2・・ｐn）＋３

が素数であるとするとｐnより大きな素数が存在することになり矛盾．

　合成数であるとするとｐkで割り切れないので，４ｎ＋１型素数では割り切れるはずである．もし，ｑのすべての約数が４ｎ＋１型だけならば，その積であるｑは４ｎ＋１型になるが，ｑは４ｎ＋３型なので再び矛盾．（４ｎ＋３型約数は少なくともひとつは存在する．

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［Ｑ］４ｎ＋１型奇数の中に素数が無限にあることを証明せよ．

　４ｎ＋１型素数を小さい方から順にｐ1＝５，ｐ2＝１３，・・・，ｐn（最大の４ｎ＋１型素数）とする．

　　ｑ＝４（ｐ1ｐ2・・ｐn）＋１

が素数であるとするとｐnより大きな素数が存在することになり矛盾．

　合成数であるとするとｐkで割り切れないので，４ｎ＋３型素数では割り切れるはずである．もし，ｑのすべての約数が４ｎ＋３型だけならば，その積であるｑは４ｎ＋３型になるとは限らない．

　たとえば，

　　ｑ＝（４ｍ＋３）（４ｎ＋３）＝１２ｍｎ＋１２ｍ＋１２ｎ＋９

　　　＝４（３、ｍ＋３ｍ＋３ｎ＋２）＋１

となり，この証明はうまくいかない．

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［Ｑ］ディリクレの算術級数定理（１８３７年）

　　数列｛ａ＋ｎｄ｝，ａとｏｄは互いの素

のなかに素数は無限に存在する．

　そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)

　　　　χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現

が用いられます．

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