［２］｛３，３，４｝（０１００）

　　｛３，４｝（１００）２個は（３，３，３，３）

　　｛３，３｝（０１０）４個は（３，３，３，３）

　６点からなる図形で，頂点次数は８であるからその面数は８である．これは正八面体と思われ，その辺数は１２である．

　　ｘ＝１２

　　１２／３＝４　（ＯＫ）

　　ｆ2＝（１２／３）・ｆ0＝９６

となって正解が得られた．三角形ばかりの場合だと簡単だ．

　ついでにｆ3であるが，ｆ3はは正八面体構造である．このような正八面体構造が６つあるので，

　　ｆ3＝６／６・ｆ0＝２４

　５次元以上の空間充填２^n＋２ｎ胞体のｋ次元面数は？

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［２］｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）

　頂点回りには

　　｛３，３，４｝（１，１，０，０）２個

　　｛３，３，３｝（０，１，１，０）４個

である．

　６点からなる図形で，頂点次数は６であるからその３次元面数は６である．これは４次元重三角錐と思われる．しかし，その辺数，面数がわからず，これから以下の状況を導き出せない．

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）１個と切頂四面体（頂点数１２）１２個である．

　　ｆ3＝（１／６＋１２／１２）・ｆ0＝７ｆ0／６

　点Ｐは５枚の正三角形と８枚の正六角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５／３＋８／６）・ｆ0＝３ｆ0

　逆に考えれば，ｆ＝（６，１３，１３，６）になる．

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［３］｛３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

　頂点回りには

　　｛３，３，３，４｝（０，１，０，０，０）３個

　　｛３，３，３，３｝（０，１，０，０，０）８個

である．

　１１点からなる図形で，頂点次数は１８であるからその４次元面数は１８である．これはもはや想像の域を超えている．これから以下の状況を導き出せるだろうか？

　点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）３６個と四面体（頂点数４）３０個である．

　　ｆ3＝（３０／４＋３６／６）・ｆ0＝２７ｆ0／２

　この場合も実際に正方形面や正六角形面を作るのではなく，したがって，点Ｐは５４枚の正三角形で取り囲まれることになるから，

　　ｆ2＝（５４／３）・ｆ0＝１８ｆ0

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［まとめ］頂点図形の双対のｆベクトルがわからず断念したが，答えは以下のようになるようだ．

［３］｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）

　頂点回りには

　　｛３，３，４｝（１，１，０，０）２個・・・頂点数４８

　　｛３，３，３｝（０，１，１，０）４個・・・頂点数３０

である．

　　ｆ4＝（２／４８＋４／３０）ｆ0＝１０＋３２＝４２

　次はｆ3の番であるが，

　　｛３，４｝（１，０，０）１個

　　｛３，３｝（１，１，０）と｛３，３｝（０，１，１）あわせて１２個

すなわち，点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）１個と切頂四面体（頂点数１２）１２個である．

　　ｆ3＝（１／６＋１２／１２）・ｆ0＝７ｆ0／６

　次はｆ2の番であるが，

　　｛３｝（０，１）と｛３｝（１，０）あわせて５個

　　｛３｝（１，１）８個

　　ｆ2＝（５／３＋８／６）・ｆ0＝３ｆ0

　次はｆ1の番であるが，

　　｛｝（１）６個

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［４］｛３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

　頂点回りには

　　｛３，３，３，４｝（０，１，０，０，０）３個

　　｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）８個

である．

　次はｆ4の番であるが，

　　｛３，３，４｝（１，０，０，０）３個

　　｛３，３，３｝（０，１，０，０）と｛３，３，３｝（０，０，１，０）あわせて３６個

　　ｆ4＝（３／８＋３６／１０）・ｆ0＝１５９ｆ0／４０＝６３６

　次はｆ3の番であるが，

　　｛３，３｝（０，０，１）と｛３，３｝（１，０，０）あわせて３０個

　　｛３，３｝（０，１，０）３６個

　　ｆ3＝（３０／４＋３６／６）・ｆ0＝２７ｆ0／２

　次はｆ2の番であるが，

　　｛３，３｝（０，１）と｛３，３｝（１，０）あわせて５４個

　　ｆ2＝（５４／３）・ｆ0＝１８ｆ0

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