■正多胞体の面数反転公式(その3)

 目的の点(点あるいは辺の中点)に隣接する胞の数も,2項係数を活用して求めることができると思われる.

[1]n次元正単体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>k)は,双対を考えて,n-k次元胞内のn-m次元胞と同数,

  (n-k,n-m)

です.

 nが小さい例で検してみると

[a]n=3,k=0,m=1→(3,2)=3   (OK)

[b]n=3,k=0,m=2→(3,1)=3   (OK)

[c]n=3,k=1,m=2→(2,1)=2   (OK)

[d]k=n-2,m=n-1→(2,1)=2   (OK)

 なお,m<kのときは,k次元正単体の含むm次元胞の数は

  (k+1,m+1)

個になります.

[2]n次元正軸体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>m>k)は,2項係数を使って,

  2^m-k(n-1-k,m-k)

です.

 nが小さい例で検してみると

[a]n=3,k=0,m=1→2(2,1)=4   (OK)

[b]n=3,k=0,m=2→4(2,2)=4   (OK)

[c]n=3,k=1,m=2→2(1,1)=2   (OK)

[d]k=n-2,m=n-1→2(1,1)=2   (OK)

 あまり意味はないかもしれないが,超立方体(正測体)の反転公式も求めてみよう.まずはおさらいから.

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  超立方体の面数公式   正軸体の面数公式

      k     →  n-k-1

    n-k-1   ←    k

と変換しますが,その際,正軸体と超立方体の基本単体は同じ球面単体として投影されるのですが,ラベルの付け方は逆になります.

  正軸体: 0,  1,  2,・・,   k,・・,n-2,n-1

  立方体:n-1,n-2,n-3,・・,n-k-1,・・,1, 0

 n次元正単体のk次元胞の数はfk=(n+1,k+1)ですから,m次元胞に含まれるk次元胞の数は(m+1,k+1)です.双対を考えて,m<kのときは,k次元正単体の含むm次元胞の数は

  (k+1,m+1)

個になります.

 ここで,

      k     →  n-k-1

      m     →  n-m-1

と置き換えると,

[1]n次元正単体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>k)は,双対を考えて,n-k次元胞内のn-m次元胞と同数,

  (n-k,n-m)

が得られます.

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 また,n次元正軸体については,fk=2^(k+1)(n,k+1),n次元超立方体では,fk=2^(n-k)(n,k)です.正軸体のm次元胞に含まれるk次元胞の数は2^(k+1)(m,k+1)です.双対を考えて,m<kのときは,k次元正立方体の含むm次元胞の数は

  2^(k-m)(k,m)

個になります.

 ここで,

      k     →  n-k-1

      m     →  n-m-1

と置き換えると,

[2]n次元正軸体において,k次元胞に接する(それを含む)m次元胞(m>k)は,2項係数を使って,

  2^m-k(n-1-k,n-1-m)=2^m-k(n-1-k,m-k)

です.

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