（その１６）では回転子とつねに相対的位置が不変に保たれた点の運動（ペリトロコイド曲線）について述べましたが，今回のコラムではペリトロコイド曲線の次数やその性質について調べてみます．

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【１】ペリトロコイド曲線の接線極座標表示

　公転に対する自転の向きによって，ペリトロコイド曲線は

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（θ＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝−Ｒｓｉｎ（θ＋γ）−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

または

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（−θ＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝−Ｒｓｉｎ（−θ＋γ）−ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎ（２θ＋γ）＋ａｓｉｎｎθ　　（黄）

または

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ　　　（緑）

となります．

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【２】ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ

　（その３６）で解説したフルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は，

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｒ≧｛（ｎ−１）^2−１｝ａ

と書くことができます．

　このことから，

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ

はフルヴィッツ・藤原曲線そのものであり，正ｎ＋１角形の内転形であることがわかります．したがって，その次数は２（ｎ＋１）次ということになります．

　フルヴィッツ・藤原曲線の平行曲線もまた内転形となるのですが，同じ凸ｎ角形のすべての内転形の周長は等しいことより，正ｎ角形の内接円の半径をｒとして，中心軌道の軌道半径を

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ａ＝ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

で定めれば面積最小のフルヴィッツ・藤原曲線が求められます．

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ

の場合，

　　ｒ＝（ｎ^2−１）ａ

とはなっていないので，面積最小のフルヴィッツ・藤原曲線ではなく，その平行曲線ということになります．

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【３】ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎ（２θ＋γ）＋ａｓｉｎｎθ

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ

は概ｎ角形の曲線となりますが，それに対して

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎ（２θ＋γ）＋ａｓｉｎｎθ

は概ｎ−２角形を描きます．（その１９）では，ｎサイクルロータリーエンジンのアニメを掲げましたが，百聞は一見に如かず，いずれも概ｎ−２角形のなかで概ｎ−１角形が回転する様子が描かれています．

　もちろん概ｎ−２角形の２はＲｓｉｎ（２θ＋γ）に由来することは確かです．概ｎ−１角形を内転させることができて，この曲線自体もＬＣＭ（３，ｎ＋１）角形の内転形になっているのでしょう．

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　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎ２θ＋ａｓｉｎｎθ

として，実際に次数を求めてみることにしましょう．

［１］ｎ＝３

　　ｒ＝２Ｒｘｙ／ｒ^2＋ａ（−４ｙ^3／ｒ^3＋３ｙ／ｒ）

　　ｒ^4＝２Ｒｘｙｒ＋ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2）

　　（ｒ^4−ａ（−４ｙ^3＋３ｙｒ^2））^2＝（２Ｒｘｙ）^2ｒ^2　→　８次式

［２］ｎ＝４

　　ｒ＝２Ｒｘｙ／ｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3／ｒ^4＋４ｘｙ／ｒ^2）

　　ｒ^5＝２Ｒｘｙｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2）

　　ｒ^10＝（２Ｒｘｙｒ^2＋ａ（−８ｘｙ^3＋４ｘｙｒ^2））^2　→　１０次式

　一般に，次数は２（ｎ＋１）次式となりますが，この点については

　　ｐ（θ）＝Ｒｓｉｎγ＋ａｓｉｎｎθ

の場合と同じです．

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