フルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は，

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｒ≧｛（ｎ−１）^2−１｝ａ

と書くことができます．

　フルヴィッツ・藤原曲線の平行曲線もまた内転形となるのですが，同じ凸ｎ角形のすべての内転形の周長は等しいことより，正ｎ角形の内接円の半径をｒとして，中心軌道の軌道半径を

　　ａ＝ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

で定めれば面積最小のフルヴィッツ・藤原曲線が求められます．

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【１】フルヴィッツ・藤原曲線の一般式

　まず，おさらいから始めますが，

　　ｘ＝ｃｃｏｓ^3θ＋ａ0／２ｓｉｎθ

　　ｙ＝−ｃｓｉｎ^3θ−ａ0／２ｃｏｓθ

はアステロイドの平行曲線で，接線極座標では

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ２θ，ｒ＝ａ0／２，ａ＝ｃ／２

と表されます．

　アステロイドの平行曲線の一般化による内転形をフルヴィッツ・藤原の二角形，三角形，四角形，ｎ−１角形と呼ぶことにします．これらの弧の次数はそれぞれ６次，８次，１０次，２ｎ次となります．その接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

と書くことができます．

　また，その曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝ｒ−｛（ｎ−１）^2−１｝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ≧０

より，

　　ｒ≧｛（ｎ−１）^2−１｝ａ

に対し，包絡線は特異点をもたずに正ｎ角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｓｉｎ（ｎ−１）θ

はｓｉｎがｃｏｓであっても本質的な違いはありません．

　　ｐ（θ）＝ｒ＋ａｃｏｓ（ｎ−１）θ

　複素数

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を使えば直ちにそのことがわかるのですが，要はω＝２π／ｎとおいて，

　　Σ(k=0~n-1)ｐ（θ＋ｋω）＝ｎｒ（一定）

であれば正ｎ角形の内転形であるための条件を満たすので，フルヴィッツ・藤原曲線は正ｎ角形の内転形であるというわけです．

　このことから，フルヴィッツ・藤原曲線の一般式は，

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ｛（ｎ−１）θ｝＋ｂ1ｓｉｎ｛（ｎ−１）θ｝　　　（ｎ≧３）

と書くことができます．

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【２】ルーロー曲線の一般式

　円の直交座標におけるパラメータ表示式は

　　ｘ＝α／２＋ａ0／２ｓｉｎθ

　　ｙ＝β／２−ａ0／２ｃｏｓθ

ですから，アステロイドの平行曲線

　　ｘ＝ｃｃｏｓ^3θ＋ａ0／２ｓｉｎθ

　　ｙ＝−ｃｓｉｎ^3θ−ａ0／２ｃｏｓθ

とは右辺第１項が異なっているのみです．

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入して，接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0

ですから，円は定幅曲線でその曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝ａ0／２

より，ａ0／２となります．また，

　　Σ(k=0~n-1)ｐ（θ＋ｋω）＝ｎｒ（一定），ω＝２π／ｎ

ですから，円は正ｎ角形の内転形です．

　したがって，その一般式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓ（θ）＋ｂ1ｓｉｎ（θ）

と書くことができ，フルヴィッツ・藤原曲線においてｎ＝２とした形になります．しかしながら，ルーロー曲線の中心軌道は円形ではなく，係数のもつ意味合いはフルヴィッツ・藤原曲線の場合とは異なります．

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【２】フーリエ級数と曲線の幾何

　θによりパラメトライズされた閉曲線

　　γ（θ）＝（ｘ（θ），ｙ（θ））

についてγ（θ）＝ｘ（θ）＋ｉｙ（θ）の第ｎフーリエ級数をａn，曲線の長さをｌ，直径をｄ＝ｓｕｐ｜γ（θ1）−γ（θ2）｜により定義すると

　　２ａn＝１／２π∫｜γ（θ）−γ（θ＋π／ｎ）｜ｅｘｐ（−ｉｎθ）ｄθ

より，

　　(1)すべてのｎ（≠０）に対して，２｜ａn｜≦ｄ

が成立します．

　また，

　　(2)凸閉曲線ならば，ｌ≦πｄ

等号は閉曲線が円周のとき成立しますが，（驚いたことに）これが唯一の場合ではなく，ルーロー三角形は幅が一定の曲線で円ではないものの古典的な例になっています．

　実際，ｌ＝πｄは２｜ａ1｜＝ｄと同値で，ａ1＝１と正規化すれば

　　γ’（θ）＝ｉｅｘｐ（ｉθ）（１＋ｐ（θ））

のときに成立しまたそのときに限ります．ここで，ｐ（θ）は

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝０，｜ｐ（θ）｜≦１

を満たす実数値関数です．たとえばｐ（θ）＝ｃｏｓ５θ．

　ルーローの三角形は

　　ｐ（θ）＝ｈ（３θ）

　　−π≦ｓ≦０のときｈ（ｔ）＝−１，０＜ｓ＜πのときｈ（ｔ）＝１

とした曲線で表されます．関数ｈ（ｔ）はヘビーサイド関数，ディラックのデルタ関数あるいはインパルス関数とも呼ばれます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　曲線の長さをｓ，接線がｘ軸となす角をθとすると，ｆ（ｓ，θ）＝０あるいはρ＝ｆ（ｓ）なる方程式が与えられれば曲線の形が決定されます．

　　１／ρ＝ｄθ／ｄｓ，ｄｘ／ｄｓ＝ｃｏｓθ，ｄｙ／ｄｓ＝ｓｉｎθ

　ルーローの三角形のような区分毎に接続された卵形線の接線極座標における方程式ｐ（θ）で表す場合であっても，各部分の継ぎ目でθは連続でジャンプしません．その意味でθは弧長パラメータｓと同じと考えることができます．

　　θ＝θ（ｓ）

　もし，ｐ（θ）をフーリエ級数に展開し

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋Σ（ａkｃｏｓｋθ＋ｂkｓｉｎｋθ）

とすると，その面積はパーセヴァルの定理より

　　１／２∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ＝１／２｛ａ0^2π＋Σ（ａk^2＋ｂk^2）（１−ｋ^2）π｝

になります．

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