フェルマー数−１，すなわち，２^(2^n)の最後の桁は６であることは簡単に示すことができる．

　ｎ＝２，３，・・・に対して，

　　２^(2^2)＝１６

　　２^(2^3)＝｛２^(2^2)｝^2＝１６^2

　　２^(2^4)＝｛２^(2^3)｝^2＝（１６^2）^2

　　２^(2^5)＝｛２^(2^4)｝^2＝（（１６^2）^2）^2

　最後の桁が６である数の平方は，最後の桁が６になることは明らかであろう．

　　（１０ｋ＋６）^2＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ）＋３６＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ＋３）＋６

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　最後の２桁について調べてみると，

　（１００ｋ＋０６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１２ｋ）＋３６

　（１００ｋ＋１６）^2＝１００（１００ｋ^2＋３２ｋ＋２）＋５６

　（１００ｋ＋２６）^2＝１００（１００ｋ^2＋５２ｋ＋６）＋７６

　（１００ｋ＋３６）^2＝１００（１００ｋ^2＋７２ｋ＋１２）＋９６

　（１００ｋ＋４６）^2＝１００（１００ｋ^2＋９２ｋ＋２１）＋１６

　（１００ｋ＋５６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１１２ｋ＋３１）＋３６

　（１００ｋ＋６６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１３２ｋ＋４３）＋５６

　（１００ｋ＋７６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１５２ｋ＋５７）＋７６

　（１００ｋ＋８６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１７２ｋ＋７３）＋９６

　（１００ｋ＋９６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１９２ｋ＋９２）＋１６

より，

　Ｆ3 　Ｆ4 　Ｆ5 　Ｆ6 　Ｆ7

　５６→３６→９６→１６→５６

と周期４で巡回するから，

　Ｆ71　Ｆ72 　Ｆ73　Ｆ74　Ｆ75

　５６→３６→９６→１６→５６

Ｆ73＝２^(2^73)＋１の最後の２桁は９７であることがわかる．

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　最後の３桁については，

　Ｆ3 　　Ｆ4 　　Ｆ5 　　Ｆ6 　　Ｆ7

　２５６→５３６→２９６→６１６→４５６→９３６→０９６→２１６→６５６→３３６→８９６→８１６→８５６→７３６→６９６→４１６→０５６→１３６→４９６→０１６→２５６

と周期２０で巡回するから，

　Ｆ63　　Ｆ64　　Ｆ65　　Ｆ66　　Ｆ67

　２５６→５３６→２９６→６１６→４５６

　Ｆ68　　Ｆ69　　Ｆ70　　Ｆ71　　Ｆ72　　Ｆ73

　９３６→０９６→２１６→６５６→３３６→８９６

Ｆ73＝２^(2^73)＋１の最後の３桁は８９７であることがわかる．

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　Ｆ73＝２^(2^73)＋１の最後の３桁は８９７である．・・・電卓だけでもこれくらいのことが計算できるのである．

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