■置換多面体の空間充填性(その235)

 辺中点における正軸体系切頂多面体

  f0=2n(n-1)

  f1=2(n-2)f0

  fn-1=2^n+2n

  fk=2^k+1(n,k+1)+2^k+2(n-k-1)(n,k+1)  (k=2~n-2)

でも調べてみたい.

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  fn-2^(n)=n2^n-1+n2^n

  fk^n-1=2^k+1(n-1,k+1)+2^k+2(n-k-2)(n-1,k+1)

  fn-2^(n-1)=2^n-1+2(n-1)

  fk^n-2=2^k+1(n-2,k+1)+2^k+2(n-k-3)(n-1,k+1)

  fn-3^(n-2)=2^n-2+2(n-2)

  hk^(n)=Σ(j=0~tp)(-1)^jgj^(n)fk^(n-1ーj)  (0≦k≦n-1)

切頂型では

  fk^(n)=hk^(n)+gk^(n)  (tp+1≦k≦n-1)

tp=1より,

  hn-1^(n)=g0^(n)fn-1^(n-1)-g1^(n)fn-1^(n-2)=g0^(n)

  fn-1^(n)=hn-1^(n)+gn-1^(n)

ここで,gk=2^k+1(n,k+1)

 一方,頂点回りのn-1次元面は

  切頂面・・・頂点数=g0^n-1=2(n-1)=a

  ファセット面・・・頂点数は正単体系の中点切頂型多面体であるからn(n-1)/2=b

  fn-1^(n)/f0^(n)={g0^(n)+gn-1^(n)}/f0^(n)

={2n+2^n}/2n(n-1)={x/a+y/b}

x=2n/2n(n-1)・2(n-1)=2

y=2^n/2n(n-1)・n(n-1)/2=2^n-2

となり,合致.

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