■置換多面体の空間充填性(その233)

 正単体切頂切稜型ペトリー多面体の頂点に集まるn−2次元面について,検索してみたい.

  hk^(n)=Σ(j=0~tp)(-1)^jgj^(n)fk^(n-1ーj)  (0≦k≦n−1)

切頂型では

  fk^(n)=hk^(n)+gk^(n)  (tp+1≦k≦n−1)

切頂切稜型では

  fk^(n)=hk^(n)+Σ(j=tp+1~k)gj^(n)f(k-j)^(n-1ーj)  (tp+1≦k≦n−1)

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k=0とおくと,

  hk^(n)=Σ(j=0~tp)(-1)^jgj^(n)fk^(n-1ーj)

  f0^(n)=Σ(j=0~tp)(-1)^jgj^(n)f0^(n-1ーj)

n−2次元面数を得るために,k=n−2とおくと,

  hn-2^(n)=Σ(j=0~tp)(-1)^jgj^(n)fn-2^(n-1ーj)

 正単体切頂切稜型ペトリー多面体では,tp=0なので,

  fn-2^(n)=hn-2^(n)+Σ(j=1~n-2)gj^(n)f(n-2-j)^(n-1ーj)

=g0^(n)f(n-2)^(n-1)+g1^(n)f(n-3)^(n-2)+・・・+gn-2^(n)f(0)^(1)

 ここで,gk^(n)=(n+1,k+1)

 また,

  fk^n=2(2^k+1−1)(n+1,k+2)  (k=0〜n−1)

より,

  f0^(n)=(n+1)n

  fn-1^(n)=2(2^n−1)

  fn-2^(n)=2(2^n-1−1)(n+1)

  fk^n-1=2(2^k+1−1)(n,k+2)

  fn-2^(n-1)=2(2^n-1−1)

  fk^n-2=2(2^k+1−1)(n−1,k+2)

  fn-3^(n-2)=2(2^n-2−1)

  ・・・・・・・・・・・・・・・

  fn-2^(n)/f0^(n)={g0^(n)f(n-2)^(n-1)+g1^(n)f(n-3)^(n-2)+・・・+gn-2^(n)f(0)^(1)}/(n+1)n

 一方,頂点回りのn−2次元面は

  切頂面・・・頂点数=1・(n−1)=a

  切稜面・・・頂点数=2(n−2)=b

  2次元面・・・頂点数=3(n−3)=c

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  n−2次元面・・・頂点数=(n−1)・1

は(k+1)(n−k−1)と表すことができる.

  x=(n+1,1)2(2^n-1−1)(n−1)/(n+1)n

  y=(n+1,2)2(2^n-2−1)2(n−2)/(n+1)n

  z=(n+1,3)2(2^n-3−1)3(n−3)/(n+1)n

  w=(n+1,k+1)2(2^n-k-1−1)(k+1)(n−k−1)/(n+1)n

=(n+1)!/(k+1)!(n−k)!・2(2^n-k-1−1)(k+1)(n−k−1)/(n+1)n

=(n−1)!/k!(n−k−2)!・2(2^n-k-1−1)/(n−k)

 正単体切頂切稜型のペトリー多面体の頂点に集まるn−2次元面は

  (n−1,n−2)(1,1)^n-2

  (n−1)!/k!(n−k−2)!

で計算できるが,

  2(2^n-k-1−1)/(n−k)

の部分が合致しない.

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