（その２５）〜（その３１）では，正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線を用いてドリルを設計しました．包絡線の方程式は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

で表されます．

　これはツバメの尾のような特異点をもつ曲線ですが，今回のコラムではこれが実際に正内転形（正ｎ角形の各辺に接しながらその中で１回転できる卵形線）であるかどうかを厳密に検討してみることにします．

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【１】接線極座標

　卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

接線方向の単位ベクトル　　：　ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

それと直交する単位ベクトル：　ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

となります．

　また，接線の方程式は

　　ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）

　　（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．

　すなわち，曲線上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから引いた垂線の長さをｐ，接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．（ｐ，θ）を接線極座標といいます．

　計算の都合上，包絡線の方程式を

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

とおいて

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

で与えられます．

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【２】内転形であるための条件

　この式でｎ＝３とおくと，

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ−Ｒ

となりますが，コラム「アステロイドの平行曲線」で述べた

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ／２＋ｒ

と（係数の違いを除いて）一致します．このことから，正三角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．実際，ω＝２π／３とおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝−３Ｒ（一定）

　ｎ＝４とすると

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−２Ｒ（一定）

ですから定幅曲線であり，したがって正方形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．一般にｎが偶数のときも

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝−２Ｒ（一定）

が成り立ちます．

　ｎ＝５の場合，ω＝２π／５とおくと，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＋ｐ（θ＋３ω）＋ｐ（θ＋４ω）＝（一定）

であれば内転形であるための条件を満たしますが，実際に

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＋ｐ（θ＋３ω）＋ｐ（θ＋４ω）＝−５Ｒ（一定）

となります．

　同様に，任意の奇数ｎに対しても内転形であることが証明されます．ここでは証明は省きますが，複素数を使って証明するのが一番の近道です．正弦・余弦の和公式・積公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史があるのですが，正弦の和公式ではかえって証明が難しくなります．

　また，その曲率半径は

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）＝−｛（ｎ−１）^2−１｝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ≧０

より，

　　ａ≦Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

に対し，包絡線は特異点をもたずに正ｎ角形に内接しながら回転することができる図形であることがわかります．

　（その２７）で半ば直観的に与えた特異点解消のための暫定値

　　ａ＝Ｒ／｛（ｎ−１）^2−１｝

は実は厳密解であったというわけです．なお，（その２８）よりこの図形はａ→０とすることによって，次第に円に近づきます．

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【３】アステロイドの平行曲線の一般化

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ２θ−Ｒ

はアステロイドの平行曲線で，正三角形に内接しながら回転することができる図形なのですが，

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

はそれを一般化したものであって，正ｎ角形に内接しながら回転することができる図形を与えてくれます．

　「ｎ角の穴をあけるドリル」シリーズでは，５角，７角，９角・・・の穴をあけるドリルなどオリジナルな内容を掲載してきたのですが，アステロイドの平行曲線の一般化による内転形の設計も初出ではないかと思われます．

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　話は変わりますが，アステロイドの式を一般化すると

　　（ｘ／ａ）^(2/n)＋（ｙ／ｂ）^(2/n)＝１

が得られます．この曲線はｎ＝１のとき楕円，ｎ＝２のとき菱形，ｎ＝３のときアステロイドになります．ｎを大きくすると次第に細い星型になりますが，尖っているところは正則ではない，すなわち，特異点となります．また，この曲線は，

　　ｘ＝ａｃｏｓ^nθ

　　ｙ＝ｂｓｉｎ^nθ

とパラメトライズすることができます．

　ここでは

　　ｘ＝ａｃｏｓ^nθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^nθ

の場合を考えますが，この曲線（一般化アステロイド）の平行曲線は

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

とはなりません．

　［１］接線極座標で述べたことを補足すると，法線の方程式は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｘ0ｃｏｓ＋ｙ0ｓｉｎθ＝ｐ’（θ）

原点から法線までの距離は｜ｐ’（θ）｜で与えられますから，連立方程式

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｐ’（θ）

を解くと

　　ｘ＝ｐ（θ）ｓｉｎθ＋ｐ’（θ）ｃｏｓθ

　　ｙ＝−ｐ（θ）ｃｏｓθ＋ｐ’（θ）ｓｉｎθ

が得られます．

　これにより（ｐ，θ）でパラメトライズされた曲線を（ｘ，ｙ）に直すことができます．

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ

の場合は

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ−（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

というわけです．

　それに対して

　　ξ＝ａｃｏｓ^nθ，η＝ａｓｉｎ^nθ

の平行曲線は

　　ｘ＝ａｃｏｓ^nθ＋ｒｓｉｎ^n-2θ／（ｓｉｎ^2n-4θ＋ｃｏｓ^2n-4θ）^(1/2)

　　ｙ＝ａｓｉｎ^nθ＋ｒｃｏｓ^n-2θ／（ｓｉｎ^2n-4θ＋ｃｏｓ^2n-4θ）^(1/2)

および

　　ｘ＝ａｃｏｓ^nθ−ｒｓｉｎ^n-2θ／（ｓｉｎ^2n-4θ＋ｃｏｓ^2n-4θ）^(1/2)

　　ｙ＝ａｓｉｎ^nθ−ｒｃｏｓ^n-2θ／（ｓｉｎ^2n-4θ＋ｃｏｓ^2n-4θ）^(1/2)

　とくに，アステロイド：ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝ａ^2/3

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓ^3θ，η＝ａｓｉｎ^3θ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ＋ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ＋ｒｃｏｓθ

および

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ−ｒｓｉｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ−ｒｃｏｓθ

のようになります．

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【補】定幅曲線

　任意のθについて幅ｈが一定，すなわち，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｈ

である曲線を定幅曲線といいます．また，

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）≧０

は曲率半径が符号を変えないこと，すなわち卵形線であるための条件です．

　ρ（θ）≧０であって，幅ｈをもつすべての定幅曲線の周長はπｈで等しくなります（バービエ）．また，定幅曲線のなかで面積が最大になるのは円，最小になるのはルーローの三角形です（ブラシュケ・ルベーグ）．

　定幅であるための必要十分条件は，各対点（ｘ（θ），ｙ（θ））と（ｘ（θ＋π），ｙ（θ＋π））を結ぶ直線がそれらの点での接線に直交することといってもよく，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｈ

は

　　ρ（θ）＋ρ（θ＋π）＝ｈ

としても同値で，（ｘ（θ），ｙ（θ））での曲率中心と（ｘ（θ＋π），ｙ（θ＋π））での曲率中心は一致します．

　円の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0

ですから定幅曲線で，その曲率半径はａ0／２となります．

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