■E8格子とひも理論(その6)

 黄金比は正五角形と密接な関係にある.正五角形に対角線を書き入れると星形五角形できるが,この手順を繰り返すと,正五角形と星形五角形が少しずつ縮小しながら無限に入れ子状になった図形を作ることができる.正五角形に対角線を描き入れると星形五角形(ソロモンの星)ができるが,正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる.この図形が4次元正単体の2次元投影図であることを知っている人は少ないだろう.

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【1】3次元立方体の投影図

 3次元立方体を(1,1,1)方向に投影すると,2次元投影図は正六角形になる.

 最近の若い人の中には,この図を見て「三角形が6つ合わさった形」と答える人がいるとのことである.この答えは間違いではないが,立体図形に見えないのなら少々問題があるだろう.

 以下のロゴは,東北大学金属材料研究所のものであるが,正六角形の対角線のなかで対頂点を結ぶ対角線3本がはいっている.川添良幸先生から聞いた話では「この六角形が立方体に見えぬ者はこの門をくぐるなかれ」といったことを意味しているそうである.

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【2】4次元立方体の投影図

 白銀比は正八角形と密接な関係にある.正八角形に3/8角形を書き入れると正八角形できるが,この手順を繰り返すと,正八角形と星形8/3角形が少しずつ縮小しながら無限に入れ子状になった図形を作ることができる.ところで,この図形は4次元立方体の3次元投影図でもある.

 3次元立方体の8つの頂点を第4の方向に1単位だけ平行移動することにより,4次元立方体の3次元投影図を描くことができる.

 以下にイメージミッション社のロゴを掲げるが,この図が何を要求しているのか,会長の前畑謙次さんに窺いたいところである.

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