■レムニスケート積分・再考(その4)

  sl’(u)^2=1−sl(u)^4

  sl”(u)=−sl(u)^3

とおくと,加法定理:任意の実数u,vに対して

  sl(u+v)={sl(u)sl’(v)+sl(v)sl’(u)}/{1+sl^2(u)sl^2(v)}

が成り立つ.

 複素数に拡張しても成り立つためには

  sl(iu)=isl(u),sl’(iu)=sl(u)

  sl(z)=sl(u+vi)={sl(u)sl’(iv)+sl(v)sl’(iu)}/{1+sl^2(u)sl^2(vi)}=

={sl(u)sl’(v)+isl(v)sl’(u)}/{1−sl^2(u)sl^2(v)}

  sl(iz)=isl(z),sl’(iz)=sl(iz)

と定義する.

 このとき,加法定理:任意の複素数u,vに対して

  sl(u+v)={sl(u)sl’(v)+sl(v)sl’(u)}/{1+sl^2(u)sl^2(v)}

が成り立つ.

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【1】虚数乗法

 n倍角公式を,ガウス整数m+niに拡張しても成り立つためには

  sl((m+ni)z)=sl(mz+inz)={sl(mz)sl’(inz)+sl(inz)sl’(mz)}/{1+sl^2(mz)sl^2(niz)}=

={sl(mz)sl’(nz)+isl(nz)sl’(mz)}/{1−sl^2(mz)sl^2(nz)}

と定義する.

 とくに,m=1,n=±1のとき

  sl((1+i)z)={(1+i)sl(z)sl’(z)}/{1−sl^4(z)}

  sl((1−i)z)={(1−i)sl(z)sl’(z)}/{1−sl^4(z)}

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 α=m+niについて,m+nが奇数のとき,Nα=m^2+n^2も奇数となる.m+nが奇数のとき,αは奇であという.αが奇でないとき,

  α=(1+i)β

と書ける.

[1]β=m+niが奇のとき,sl(βz)=0はNβ個の解をもつ.

[2]sl(βz)=i^ksl(z)Pβ(sl^4(z))/Qβ(sl^4(z))  k=0,1,2,3

が成り立つ.

[3]Pβ(u),Qβ(u)の次数は

  (Nβ−1)/4=(m^2+n^2−1)/4

である.

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[雑感]

 ガウスによれば,レムニスケートのn等分方程式は,次数n^2の方程式に帰着されるとある.言明[3]はその虚数乗法版である.

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