１７９２年，ガウスは弱冠１５才にして素数定理の見当をつけた．それは，ｘを越えない素数の個数を与える近似的な公式（素数定理）

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘや

で，この定理は約１００年後の１８９６年にアダマールとプーサンによって独立に証明された．

　次の問題．自然数の中に等間隔になる数は当たり前であるから，素数の中に等間隔の並ぶ数を考える．３個組，４個組，５個組，・・・

　双子素数予想よりさらに深遠なトピックスとして，「長さｋを勝手に決めると，素数列の中から長さｋの等差数列を拾い出すことができる」という有名な定理がある．

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【１】エルデシュ予想

　１９３０年代にエルデシュは，「自然数列｛ａi｝がΣ１／ａi＝∞を満たすならば，自然数列｛ａi｝は任意の長さの等差数列を含む．」ことを予想した．この予想は数論とエルゴード理論の間に深い関係を発展させる動機となった．

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【２】グリーン・タオの定理

　Σ｛１／ｐi）→∞（オイラー）なので，エルデシュ予想を証明すれば各項が素数である任意の長さの等差数列が存在することがわかる．この事実は２００４年にグリーンとタオによって証明された．

　すなわち，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

　つまり，３個組，４個組，５個組，・・・，ｎ個組．ｎは１００個でも１００万個でも好きな数だけ等差数列を作れるのである．ただし，公差ｄを指定することはできない．

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