曲線全体が常に接線の片側にあるとき，その曲線を凸閉曲線あるいは卵形線と呼びます．このことは曲率κ(s)が符号を変えないことと同値です．平面上の閉じた曲線が凸曲線であるかどうかといった大域的な形状に関する性質も，曲率という局所的に計算できる量を用いて確かめることができるというわけです．

　そして，曲率κ(s)が極大値あるいは極小値をとる点，すなわち，κ’(s)＝０となる点を頂点といいます．別の言い方をすると，通常のなめらかな曲線上では曲率円は曲線の２次近似となるのですが，頂点とは曲率円が３階微分以上に過剰に近似されてしまう特別な点のことと解釈されます．

　「単純閉曲線上には頂点が少なくとも４個存在する」というのが４頂点定理です．円の場合はκ(s)は定数ですから，すべての点が頂点ということになります．また，楕円の場合は

　　κ(t)＝ａｂ／（ａ^2ｓｉｎ^2ｔ＋ｂ^2ｃｏｓ^2ｔ）^(3/2)

ですから，ｘ軸，ｙ軸との交点だけが頂点となります．ちょうど４つある例が楕円であり，楕円の場合が頂点数が最小になるというわけです．

　４頂点定理は「単純閉曲線上に曲率円が曲線の内側にある点が少なくとも２つ，曲線の外側にある点が少なくとも２つ存在する」とさらに精密化することができます．また，球面単純閉曲線についても４頂点定理は成り立ち，その応用としてテニスボール定理「球面単純閉曲線が球面を同じ面積の領域に２分するならばその曲線は少なくとも４個の変曲点をもつ」が知られています．

　卵形線の４頂点定理はさておき，今回のコラムでは内転形「正ｎ角形に内接しながら回転することができる円以外の図形は何か」について考えてみることにします．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】卵形線研究

　藤原松三郎はゲッチンゲン留学中卵形線に大きな興味を抱き，以後卵形線研究は東北大学数学教室の輝かしい業績が生まれることとなった．内転形（凸多角形の各辺に接しながらそのなかで１回転できる卵形線）は，凸多角形が正方形の場合は定幅曲線に他ならず，定幅曲線の概念の拡張になっている．

　フルヴィッツはフーリエ級数論を応用して「デルトイドの平行曲線が定幅曲線（平行な支持線間の距離が一定な卵形線）である」ことを証明した．この論文から刺激をうけた藤原は一般的な凸多角形の内転形をフーリエ級数論を応用して解析的に研究した．

［１］同じ凸多角形のすべての内転形の周長は等しい

［２］正ｎ角形の内転形は少なくとも２（ｎ−１）個の頂点をもつ

などはその業績の一例である．

　また，正ｎ角形の内転形で面積最小のものをＡn，接点と正ｎ角形の頂点との距離が最小のものをＢnとすると，藤原はＡ3，Ｂ3はともに藤原・掛谷の２角形（半径が正三角形の高さに等しい２つの円弧で囲まれたレンズ型図形）であることを証明した．Ａ4，Ｂ4がともにルーローの三角形であることはそれぞれブラシュケ，藤原が証明している．卵形線論ではブラシュケ（ハンブルグ大学）と東北大学が研究の二大中心をなしていた観がある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】接線極座標

　卵形線上に原点をとり，曲線上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線とｘ軸とのなす角度をθとすると，

接線方向の単位ベクトル　　：　ｅ1＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

それと直交する単位ベクトル：　ｅ2＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

となります．

　また，接線の方程式は

　　ｙ−ｙ0＝ｔａｎθ（ｘ−ｘ0）

　　（ｘ−ｘ0）ｓｉｎθ−（ｙ−ｙ0）ｃｏｓθ＝０

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｘ0ｓｉｎθ−ｙ0ｃｏｓθ＝ｐ（θ）

と表されます．このとき，右辺はベクトルＰＯと法線ベクトルの内積ですから，原点から接線までの距離は｜ｐ（θ）｜で与えられます．

　同様に，法線の方程式は

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｘ0ｃｏｓ＋ｙ0ｓｉｎθ＝ｐ’（θ）

原点から法線までの距離は｜ｐ’（θ）｜で与えられます．

　連立方程式

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｐ’（θ）

を解くと

　　ｘ＝ｐ（θ）ｓｉｎθ＋ｐ’（θ）ｃｏｓθ

　　ｙ＝−ｐ（θ）ｃｏｓθ＋ｐ’（θ）ｓｉｎθ

が得られますが，これにより曲線（ｘ，ｙ）は（ｐ，θ）でパラメトライズされることがわかります．

　また，曲線の長さをｓ，曲率半径をρとすると

　　ｄｓ^2＝ｄｘ^2＋ｄｙ^2＝（ｐ＋ｐ”）ｄθ^2

より，

　　ρ＝ｄｓ／ｄθ＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）

［補］平面曲線についてのフレネー・セレーの公式は，

　　d/dtＥ＝ＡＥ

で表されます．ここで，

　　Ｅ＝（ｅ1(t)，ｅ2(t)）’

　　Ａ＝｜　０　， κ(t)｜

　　　　｜-κ(t)，　０　｜

Ａは交代行列で，κ(t)は曲率を表すスカラー関数です．曲率の逆数を曲率半径といいます．ｓを弧長パラメータとして，フレネー・セレーの公式より曲率半径は

　　ρ＝ｄｓ／ｄθ＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）

と表されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】定幅曲線

　任意のθについて幅ｈが一定，すなわち，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｈ

である曲線を定幅曲線といいます．また，

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）≧０

は曲率半径が符号を変えないこと，すなわち卵形線であるための条件です．

　ρ（θ）≧０であって，幅ｈをもつすべての定幅曲線の周長はπｈで等しくなります（バービエ）．また，定幅曲線のなかで面積が最大になるのは円，最小になるのはルーローの三角形です（ブラシュケ・ルベーグ）．

　定幅であるための必要十分条件は，各対点（ｘ（θ），ｙ（θ））と（ｘ（θ＋π），ｙ（θ＋π））を結ぶ直線がそれらの点での接線に直交することといってもよく，

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｈ

は

　　ρ（θ）＋ρ（θ＋π）＝ｈ

としても同値で，（ｘ（θ），ｙ（θ））での曲率中心と（ｘ（θ＋π），ｙ（θ＋π））での曲率中心は一致します．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】面積最小の内転形

［１］定幅曲線の場合

　定幅曲線上に原点をとると，一般性を失うことなく

　　ｐ（０）＋ｐ（π）＝ｈ

　　ｐ’（０）＋ｐ’（π）＝０

　　ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０

ですから，

　　ｐ（π）＝ｈ，ｐ’（π）＝０

　また，ρ＝ｄｓ／ｄθより弧長パラメータｓからパラメータθに変更することができ，

　　ｘ＝∫(0,ｓ)ｃｏｓθ（ｓ）ｄｓ＝∫(0,θ)ρ（θ）ｃｏｓθｄθ

　　ｙ＝∫(0,ｓ)ｓｉｎθ（ｓ）ｄｓ＝∫(0,θ)ρ（θ）ｓｉｎθｄθ

より

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

　　ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ＝ｐ’（θ）

はそれぞれ

　　ｐ（θ）＝ｓｉｎθ∫(0,θ)ρ（θ）ｃｏｓθｄθ−ｃｏｓθ∫(0,θ)ρ（θ）ｓｉｎθｄθ

　　ｐ’（θ）＝ｃｏｓθ∫(0,θ)ρ（θ）ｃｏｓθｄθ＋ｓｉｎθ∫(0,θ)ρ（θ）ｓｉｎθｄθ

と書くことができます．

　接点と正方形の頂点との距離が最小のものをＢ4とする問題は

　　∫(0,π)ρ（θ）ｓｉｎθｄθ＝ｈ

　　∫(0,π)ρ（θ）ｃｏｓθｄθ＝０

　　０≦ρ（θ）≦ｈ

の付帯条件の下で，

　　ｐ（π／２）＝∫(0,θ)ρ（θ）ｃｏｓθｄθ＝minimize

という変分問題に帰着します．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］定幅曲線でない場合

　「正三角形に内接しながら回転することができる円以外の図形は何か」について考えてみると，それは定幅曲線ではありませんが，定幅曲線の場合と類似の

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ，　　ω＝２π／３

　　ρ（θ）＝ｐ（θ）＋ｐ”（θ）≧０

であることが物理的条件です．

　そして

　　ｐ（ω）＋ｐ（２ω）＝ｈ，　　ω＝２π／３

　　ｐ’（ω）＋ｐ’（ω）＝０

　　ｐ（０）＝ｐ’（０）＝０

より，Ｂ3問題は最終的に

　　∫(0,2ω)ρ（θ）Ｇ（θ）ｄθ＝ｈ

　　∫(0,2ω)ρ（θ）Ｈ（θ）ｄθ＝０

　　ρ（θ）≧０　　　（０≦θ≦２ω）

　　ρ（θ）＋ρ（θ＋ω）≦ｈ　　　（０≦θ≦ω）

の付帯条件の下で，

　　ｐ（ω）＝∫(0,ω)ρ（θ）ｓｉｎ（ω−θ）ｄθ＝minimize

という変分問題の形に帰着されることになります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］面積最小の内転形

　卵形線の接線へ原点から引いた垂線の足の軌跡を垂足曲線といいますが，その面積は

　　１／２∫ｐ^2（θ）ｄθ

卵形線と垂足曲線との間に挟まれる面積は

　　１／２∫ｐ’^2（θ）ｄθ

より，卵形線の面積は

　　∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ

になりますから，Ａ3，Ａ4は変分問題

　　∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ＝minimize

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ｈ　　　（定幅曲線の場合）

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋ω）＋ｐ（θ＋２ω）＝ｈ　　　（定幅曲線でない場合）

に帰着されます．

　また，周長が所与である場合の同様の問題は，

　　∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ＝minimize

　　∫(0,2π)ｐ（θ）ｄθ＝constant

　　０≦ｐ（θ）＋ｐ”（θ）≦ｈ

に帰着されます．

　もし，ｐ（θ）をフーリエ級数に展開し

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋Σ（ａkｃｏｓｋθ＋ｂkｓｉｎｋθ）

とすると，その面積はパーセヴァルの定理より

　　１／２∫(0,2π)（ｐ^2（θ）−ｐ’^2（θ））ｄθ＝１／２｛ａ0^2π＋Σ（ａk^2＋ｂk^2）（１−ｋ^2）π｝

になります．

　ルーローの三角形（Ａ4問題の解），藤原・掛谷の二角形（Ａ3問題の解）はそれぞれ正方形，正三角形に内接しながら回転することができる図形であり，これを応用すれば正方形の穴，正三角形をあけるドリルを作ることができます．藤原・掛谷の二角形では完全な正三角形の穴をあけることができますが，ルーローの三角形であけられる正方形はその角がごくわずかだが丸くなっていて，穿かれる穴の面積は正方形の面積を１とすると０．９８７７・・・となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補】把持定理

　ここでは２次元の凸多角形に対して辺に直交する力を加えて水平面上で動かないようにするという問題を考えます．この場合，物体にかかる力の和＝０，トルク（回転モーメント）の和＝０となることが平衡（平行移動も回転もしない）のための物理的条件です．

　はじめに三角形物体を考えると，任意の三角形物体は３つの固定点で不動化できることがこの物理的条件から証明されるのですが，辺上の３点をＰ1，Ｐ2，Ｐ3とすると，これらの点からその辺に垂直な線を引き，この３つの直線が１点Ｏで交わるというのが不動化のための条件となります．

　このような点Ｏの典型例は，点Ｏが三角形の最大内接円の中心（すなわち内心）となることで，そのとき，Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3は最大内接円と三角形の接点（すなわち内心から各辺に下ろした垂線の足）として与えられます．

　しかし，点Ｏは必ずしも三角形の内部にある必要はなく，点Ｏから各辺に下した垂線の足がその辺上で交わればよいのです．辺の延長線上ではいけません．

　三角形は３点で不動化可能ですが，一般に凸多角形は４点で不動化できます．この場合も最大内接円が関係してきます．さらに細かくいうと，長方形，平行四辺形，台形のように平行な辺をもつ凸多角形ではどうしても４点が必要になりますが，平行な辺をもたない任意の凸多角形は３点で不動化できます．

　この定理の３次元版は少し複雑になりますが，任意の３次元多面体は６点で，平行面をもたない多面体は４点で不動化できることが証明されています．さらに，任意のｎ次元胞体の場合，固定点は２ｎ個，平行な胞（ｎ−１次元対応物）をもたないときはそれよりずっと少なくでき，ｎ＋１個まで減らせることが示されています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝