【１】オイラー独自の理論的裏付け

　ここでは，

　　ｐ｜ａ^(2^n)＋１　　（ｐ≠２の素数）

ならば

　　２^(n+1)｜ｐ−１

となることの証明を与えておきます．

［１］２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2，ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2，・・・．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの「直角三角形の基本定理」と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明（一意性も込めた証明）がなされています．

［２］この定理を拡張する方向としては，ひとつには未知数の個数を増すこと，もうひとつには指数を大きくすることです．後者の方向に押し進めていくと

(1)ａ^2＋ｂ^2の奇約数はつねに４ｎ＋１の形である

(2)ａ^4＋ｂ^4の奇約数はつねに８ｎ＋１の形である

(3)ａ^8＋ｂ^8の奇約数はつねに１６ｎ＋１の形である

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(4)ａ^2^(2^m)＋ｂ^2^(2^m)の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である

　フェルマー数はＦn＝２^(2^n)＋１という形の数ですが，ａ＝２，ｂ＝１とおくと

(5)フェルマー数２^(2^m)＋１の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である

という言明に到達します．ｍ＝５の場合，約数は６４ｎ＋１という形でしかあり得ないことになります．

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【２】オイラーとフェルマー素数

　フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をたまたまあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ・２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．

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　Ｆnが合成数であるならば，素因数はあるｋに対してｋ・２^(n+2)＋１であることを認めると

　　ｐ｜Ｆ5ならば２^7｜ｐ−１

すなわち，ｐ＝１＋ｋ・２^7の形でなければならないことがわかります．ｋに１〜５まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^7　　　素数

　　　　１　　　　　１２９　　　　×

　　　　２　　　　　２５７　　　　○

　　　　３　　　　　３８５　　　　×

　　　　４　　　　　５１３　　　　×

　　　　５　　　　　６４１　　　　○

　ここで得られた素数２５７，６４１の中から，Ｆ5＝４２９４９６７２９７を割るものを探すと６４１が最初のものであることがわかります．このことから

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　　　 ＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

と分解されＦ5が素数でないことが証明されます（１７３２年）．

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　ベネットは，実際に割り算することなしにこのことを確認しています．すなわち，

　　６４１＝５^4＋２^4＝５・２^7＋１

　　２^28（５^4＋２^4）／６４１＝２^28　（余り０）

　　（（５・２^7）^4−１）／６４１＝（５・２^7−１）（（５・２^7）^2＋１）　（余り０）

したがって，２^28（５^4＋２^4）−（（５・２^7）^4−１）＝２^32＋１も６４１で割り切れる．

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