話が脇道にそれてしまったので，元に戻したい．

［Ｑ］正４０角形の頂点に（辺と対角線のうち）８０本が引かれている．このとき４０個の頂点に中には互いに線で結ばれていない８個の点が存在することを示せ．

　８個というのはこれ以上改善できないbest possibleの結果である．なぜなら，４０個の点を５個ずつ８組に分けて，それぞれの組の任意の２点間に線が引かれている状況を考えると，そのような線の引き方は全部で（５，２）・８＝８０本あり，４０個の頂点から任意の９点を選ぶと必ずその間に線の引かれている組が含まれることになるからである．

　　［参］岩澤宏和「確率パズルの迷宮」日本評論社

に沿って，補足したい．

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　正４０角形には４０・３９／２＝７８０本の辺と対角線があり，そのうち８０本だけが線を引かれている．

　もし，４個の点の存在を示せというのならば，より容易になる．４点から２個の点の組を作る場合の数は（４，２）＝６である．そのそれぞれの組について，線が引かれている確率は８０／７８０＝４／３９なので，６つの組の中で線が引かれている組の数の期待値は

　　６・４／３９＜１

となるので，互いの間ではひとつも線が引かれていない４個の点の集合が存在することになる．

　このことをもう少し一般化してみよう．もし，ｎ個の点を選び，その中に互いに線で結ばれている２点があれば，一方の点を取り除くことにする．ｎ個の点から２点を選ぶ組み合わせは

　　ｎ（ｎ−１）／２

通りあり，線が引かれている確率は

　　８０／７８０＝４／３９

したがって，線が引かれている組の期待数は

　　ｎ（ｎ−１）／２・４／３９

となる．

　ここで取り除く点を除去したあとに残る点の期待値は，

　　ｎ−ｎ（ｎ−１）／２・４／３９＝５．３８＜６

なので，互いの間ではひとつの線も引かれていない６点集合が存在する．

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