実は（その１６８）には誤りがある．

　　Ｉｍ＝√（ｎ−１）／ｎ^2｛２ａ2（ａ1＋ｂ1ｎ）＋ａ1（−ａ2（ｎ−２）＋ｂ2ｎ）√（ｎ＋１）｝

と展開され，Ｉｍ≠０ならば，ｎ（≧５）次元の正多胞体の元素数は≧３であることがいえるが，√（ｎ＋１）が整数のとき，すなわち，

　　ｎ＝８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・

などでは，正多胞体の元素数は≧２である可能性があることになる．

　８次元，２４次元という数字にどのような意味があるかというと，実はこの２つの次元はかなり特別な意味をもっていて，高度に対称的な格子状配置になっているため接吻数（τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０）が計算できる特殊な次元なのである．実際に，８次元空間ではδ1＋２δ2＝３６０°に対応する空間充填形を２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせて構成することができる．

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【１】８次元の特殊性

　さらに，このことから５次元以上の空間で，正ｎ＋１胞体と正２^n胞体の二面角が２直角にはなるのは，

　　δ1＋２δ2＝３６０°

の場合に限られることもわかるだろう．

　　ｃｏｓ２δ2＝（ｎ^2−８ｎ＋８）／ｎ^2

　　ｓｉｎ２δ2＝−４（ｎ−２）√（ｎ−１）／ｎ^2

　　ｃｏｓ（δ1＋２δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓ２δ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎ２δ2＝＝（ｎ^2−８ｎ＋８＋４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１））／ｎ^3＝１

　　ｎ^3−ｎ^2＋８ｎ−８＝４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2＋８＝４（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2（ｎ−８）^2＝０

　すなわち，８次元においてδ1＋２δ2＝３６０°となるが，２種の二胞角で，その和が３６０°になり，空間充填形を構成できるのは，ｎ≧５のときは８次元の場合だけである．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋２δ2

2 60.0001 90.0001 240

3 70.5288 109.471 289.471

4 75.5226 120 315.522

5 78.4631 126.87 332.203

6 80.406 131.81 344.027

7 81.7868 135.585 352.956

8 82.8193 138.59 360

　　ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　＝ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２π−ａｒｃｃｏｓ（１／８）＝２π

となって，解析的にも確かめられた．

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【２】まとめ

　ｎ≧５のとき，８次元の場合だけ

　　δ1＋２δ3＝２π

なる関係が成立するが，このときも直角と有理比ではあっても，２πの整数分の１ではなく，超立方体に解体再編されない．

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