正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させたときの包絡線の方程式は

　　ｘ＝ａｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｓｉｎθ＋（ｎ−１）ａｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝ａｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ａｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）θ

で表されます．

　　ｘ＝（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｃｏｓθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｓｉｎθ

　　ｙ＝−（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ・ｓｉｎθ＋（ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）・ｃｏｓθ

と整理し，

　　ｖ＝（ｖx，ｖy）＝（（ｎ−１）ａｃｏｓ（ｎ−１）θ，ａｓｉｎ（ｎ−１）θ−Ｒ）

　　ｅr＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ｅθ＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

すなわち，ｅrはｒ方向の単位ベクトル，ｅθはそれと直交する単位ベクトルとすると

　　（ｘ，ｙ）＝ｖxｅr＋ｖyｅθ

となって，包絡線の性質について大ざっぱにいえば楕円を回転させたものと考えることができます．

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【１】包絡線の描画

　０＜θ＜２π／ｎの範囲を黄色，２π／ｎ＜θ＜２πの範囲を白色として，包絡線を描画しました．ｎ＝３の場合，魚の尻尾のような突起を生ずることはわかっていたのですが，一見，正ｎ角形の枠にうまく内接しているようにみえたｎ＝４，５，６の場合にも突起のあることがわかります．

［１］ｎ＝３

［２］ｎ＝４

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【２】雑感

　あらかじめ与えられた正ｎ角形の枠を（ｎ−２）公転について１回自転させれば，正ｎ角形に内接しながら回転することができる円以外の凸閉曲線が得られるのではないかという発想はどうやらアイディア倒れだったようですが，まだ改善の余地は残っていると思われます．引き続き検討していきたいと考えています．

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