（その５１）では微分法を使わないで，最大値・最小値問題を解いたが，かえって簡単になった．手法の選択は時と場合に応じて適切に活用すべきであるという例である．

　なお，コーシー・シュワルツの不等式によらない場合は，

　　２（ａ^2＋ｂ^2）−（ａ＋ｂ）^2＝（ａ−ｂ）^2≧０

　　３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2≧０

　　４（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ｄ）^2＋（ｄ−ａ）^2≧０

より，

　　ＮΣｄi^2−（Σｄi）^2≧０　　　（等号はｄ1＝ｄ2＝・・・＝ｄNのとき）

を導き出すことができる．

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［３］相加相乗平均不等式

　（その５２）のチェビシェフの不等式においてｂ＝１／ａと置く代わりに，ここでは相加相乗平均不等式を用いて

　　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

を証明する．

　ｎ＝２のとき，

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）＝１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１

　ａ／ｂ＋ｂ／ａ≧２より

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）≧４

　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

ではｎ^2個の項が得られるが，ｎ個の１と（ｎ^2−ｎ）／２個の項の対（各対は２以上）の分解されるから，全体の和は

　　≧ｎ＋（ｎ^2−ｎ）＝ｎ^2

になる．

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