［１］コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａｂ）^2≦（Σａ^2）・（Σｂ^2）

　　等号が成り立つのはａ1／ｂ1＝ａ2／ｂ2＝・・・＝ａn／ｂnのときに限る

というのが，コーシー・シュワルツの不等式である．ｎ＝１のときは相加相乗平均不等式に帰着する．

　ｎ＝３のときは

　　（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）^2≦（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）

となる．とくに，ａ＝ｂ＝ｃ＝１とすると

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３≦（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）

となって，

　　２（ａ^2＋ｂ^2）−（ａ＋ｂ）^2＝（ａ−ｂ）^2≧０

　　３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2≧０

　　４（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ｄ）^2＋（ｄ−ａ）^2≧０

　　ＮΣｄi^2−（Σｄi）^2≧０　　　（等号はｄ1＝ｄ2＝・・・＝ｄNのとき）

など，コーシー・シュワルツの不等式によっていることが理解される．

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≧ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ）^2≧３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）

　　ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０ならはｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3≧３ｘｙｚ

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［２］チェビシェフの不等式

　　ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn，ｂ1≦ｂ2≦・・・≦ｂnのとき，対応する要素の積の平均は平均の積よりも大きい，すなわち，

　　（Σａｂ）／ｎ≦（Σａ）／ｎ・（Σｂ）／ｎ

　　ｎ（Σａｂ）≦（Σａ）・（Σｂ）

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