■正多面体群と球面三角法(その2)

【1】球面三角法

 平面三角形の余弦定理に該当する

  cosc=cosa・cosb+sina・sinb・cosC

をcosCについて解くと

  cosC=(cosc−cosa・cosb)/sina・sinb

ですから

  sinC=1−cos^2C

=(1−cos^2a−cos^2b−cos^2c+2cosa・cosb+cosc)/(sina・sinb)^2

  sinC/sinc=(1−cos^2a−cos^2b−cos^2c+2cosa・cosb+cosc)^1/2/sina・sinb・sinc

 したがって,球面三角形の正弦定理

  sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc

を得ます.

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【2】球面三角形のヘロンの公式

  1−cosS=(1−cos^2a−cos^2b−cos^2c+2cosa・cosb+cosc)/(1+cosa)(1+cosb)(1+cosc)

  1+cosS=(1+cosa+cosb+cosc)^2/(1+cosa)(1+cosb)(1+cosc)

  sinS=(1+cosa+cosb+cosc)(1−cos^2a−cos^2b−cos^2c+2cosa・cosb+cosc)^1/2/(1+cosa)(1+cosb)(1+cosc)

 a,b,c,Sをa/R,b/R,c/R,SR^2とし,R→∞とすれば,平面三角形のヘロンの公式

  16S^2=−a^4−b^4−c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

に近づきます.

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