［Ｑ１］鋭角三角形ＡＢＣ内に点Ｐをとり，点Ｐから３辺に下ろした垂線の足を点Ｄ，Ｅ，Ｆとする．三角形ＤＥＦの面積が最大となるのはどんな場合か？

［Ａ１］三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，外接円の半径をＷ，面積をＳ，垂線の長さをｘ，ｙ，ｚとする．

　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝２Ｓ

　　４ＲＳ＝ａｂｃ

　　△ＥＦＰ＝１／２ｙｚｓｉｎ（∠ＥＦＰ）＝１／２ｙｚｓｉｎ（π−∠Ａ）

＝１／２ｙｚｓｉｎ（∠Ａ）＝ａｙｚ／４Ｒ

より，△ＤＥＦ＝（ａｙｚ＋ｂｚｘ＋ｃｘｙ）／４Ｒ

　したがって，付帯条件ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝２Ｓの下，

　　ａｙｚ＋ｂｚｘ＋ｃｘｙ

を最大にすればよい．

　ラグランジュの未定乗数法により

　　Ｆ＝ａｙｚ＋ｂｚｘ＋ｃｘｙ−λ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ−２Ｓ）

　　∂Ｆ／∂ｘ＝０，∂Ｆ／∂ｙ＝０，∂Ｆ／∂ｚ＝０，∂Ｆ／∂λ＝０

より，

　　ｘ＝λ（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）／２ｂｃ＝λｃｏｓＡ

　　ｙ＝λ（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）／２ｃａ＝λｃｏｓＢ

　　ｚ＝λ（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）／２ａｂ＝λｃｏｓＣ

　　Ｒ＝λ・・・これは点Ｐが外心のときである．

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［Ｑ２］三角形ＡＢＣ内に点Ｐをとり，点Ｐから３辺に下ろした垂線の足を点Ｄ，Ｅ，Ｆ，垂線の長さをｘ，ｙ，ｚとする．垂線の長さの二乗和

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

が最小となるのはどんな場合か？

［Ａ２］付帯条件はａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝２Ｓ，４ＲＳ＝ａｂｃ．答えは，ｘ：ｙ：ｚ＝ａ：ｂ；ｃを満たす点（ルモワーヌ点）．なお，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2を最小となる点は重心であって，ルモワーヌ点は擬似重心とも呼ばれる．

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