■置換多面体の空間充填性(その113)

 空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角についてまとめておきたい.

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 空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角は

  cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2

で与えられる.

 n=3の場合

  cosδ01=−{1/2・2/3}^1/2=−√(1/3)

  cosδ02=−{1/3・1/3}^1/2=−1/3

  cosδ12=−{2/3・1/2}^1/2=−√(1/3)

  cosδ01=−√(1/3),δ1=125.264

  cosδ02=−1/3,δ2=109.471

  cosδ12=−√(1/3),δ1=125.264

2δ1+δ2=2π

  2arccos(−√1/3)=2π−arccos(−1/3)

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[1]3次元

  2(頂点稜間)+(頂点ファセット間)=360°

[2]4次元

  2(頂点稜間)+(頂点ファセット間)=360°

  2(頂点n−1次元面間)+(稜n−1次元面間)=360°

[3]5次元

  2(頂点稜間)+(頂点ファセット間)=360°

  3(稜n−1次元面間)=360°

→これは2(頂点n−1次元面間)+(稜n−1次元面間)=360°に等しい.

  (頂点2次元面間)+(頂点n−1次元面間)+(稜2次元面間)=360°

[4]6次元

  2(頂点稜間)+(頂点ファセット間)=360°

  2(頂点3次元面間)+(2次元面3次元面間)=360°

  2(稜n−2次元面間)+(稜n−1次元面間)=360°

  (頂点2次元面間)+(頂点n−1次元面間)+(稜2次元面間)=360°

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[まとめ]

 空間充填2(2^n−1)胞体では,切稜面とn−2次元面の切断面を貼りあわせ,その間に切頂面とファセット間が挿入されることを示していることになる.

 一方,空間充填2^n+2n胞体では,

  2(頂点ファセット間)+(ファセット間)=360°

したがって,切頂面同士を貼りあわせ,その間にファセット間が挿入されることになる.

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