（その１９）ではｎサイクル・ロータリーエンジンのアニメを示しましたが，それをオーバーレイさせると，ローター曲線をなす曲線族が覆っている領域の境界に新しい曲線が得られます．この曲線を包絡線と呼ぶのですが，外包絡線はペリトロコイド曲線にほかなりません．今回の問題は内包絡線の方程式を求めることです．

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【１】ｎサイクルのロータリーエンジンの外包絡線

［１］ｎ＝３

［２］ｎ＝４

［３］ｎ＝５

［４］ｎ＝６

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【２】包絡線の求め方

　ローター曲線が円弧の組み合わせであれば，曲率中心の軌道を求めることによって簡単に包絡線が得られるのですが，ローター曲線は円弧ではありません．そこで，（その１８）で行ったのと同様の手続きを，今度はローター曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）φ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）φ）

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

に対して施すことになります．

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂φ）−（∂ｙ／∂φ）（∂ｘ／∂φ）＝０

を計算すると

　　Ａｓｉｎ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ）＋Ｂｃｏｓ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　ｓｉｎ（（ｎ−２）φ−（ｎ−２）θ＋ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　（ｎ−２）φ＝（ｎ−２）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｓｉｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝（ｎ−２）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)）

　これで，φをβ，θ（β）の関数として表すことができ，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となるというわけです．（その１８）ではうまい形に変形することができたのですが，この問題ではうまい変形が見つからず，力任せのかなり大変な計算になりました．

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【３】ｎサイクルのロータリーエンジンの内包絡線

［１］ｎ＝３

［２］ｎ＝４

［３］ｎ＝５

［４］ｎ＝６

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