■置換多面体の空間充填性(その64)

【1】空間充填2^n+2n胞体

 空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角は 

  cosδ=−1/√n

  cosδ=−(n−2)/n

で洗えられる.

 常に

  2δ1+δ2=360°

が成り立つだろうか?

  2arccos(−1/√n)=2π−arccos(2/n−1)

  2arccos(−1/√n)+arccos(−(n−2)/n)=2π

 これで正しいことが確認された.

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【2】空間充填2(2^n−1)胞体

 空間充填2(2^n−1)胞体の二胞角は

  cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2

で与えられる.

 n=5の場合

  cosδ01=−{1/2・4/5}^1/2=−√(2/5)

  cosδ02=−{1/3・3/5}^1/2=−√(1/5)

  cosδ03=−{1/4・2/5}^1/2=−√(1/10

  cosδ04=−{1/5・1/5}^1/2=−1/5

  cosδ12=−{2/3・3/4}^1/2=−√(1/2)

  cosδ13=−{2/4・2/4}^1/2=−√(1/2)

  cosδ14=−{2/5・1/4}^1/2=−√(1/10)

  cosδ23=−{3/4・2/3}^1/2=−√(1/2)

  cosδ24=−{3/5・1/3}^1/2=−√(1/5)

  cosδ34=−{4/5・1/2}^1/2=−√(2/5)

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  cosδ01=−√(2/5),δ1=129.231

  cosδ02=−√(1/5),δ2=116.565

  cosδ03=−√(1/10),δ3=108.435

  cosδ04=−1/5,δ4=101.537

  cosδ12=−√(1/2),δ5=135

  cosδ13=−1/2,δ6=120

  cosδ14=−√(1/10),δ3=108.435

  cosδ23=−√(1/2),δ5=135

  cosδ24=−√(1/5),δ2=116.565

  cosδ34=−√(2/5),δ1=129.231

  2δ1+δ4=360°

  3δ6=360°

 念のため,解析的にも検してみると,

  2arccos(−√2/5)=2π−arccos(−1/5)

  2arccos(−√2/5)+arccos(−1/5)=2π

  2arccos(−1/2)=2π−arccos(−1/2)

  2arccos(−1/2)+arccos(−1/2)=2π

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 (j=0,k=1)=(j=n−2,k=n−1)と(j=0,k=n−1)は常に二胞角が3個以上で2πになる組み合わせをもつのだろうか?

  cosδ=−{(j+1)/(k+1)・(n−k)/(n−j)}^1/2

  cosδ1=−{1/2・(n−1)/n}^1/2

  cosδ2=−{1/n・1/n}^1/2=−1/n

  2arccos(−{1/2・(n−1)/n}^1/2)=2π−arccos((n−1)/n−1)=2π−arccos(−1/n)

  2arccos(−{1/2・(n−1)/n}^1/2)+arccos(−1/n)=2π

 これで正しいことが確認された.

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