置換多面体による空間充填では，頂点回りに集まる多面体数はｎ＋１であることはよく知られている．置換多面体は単純多面体なので，頂点次数はｎであるか，そこに集まるｎ−１次元面数もｎであった．

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　一方，ＢＣＣ型空間充填多面体の頂点次数ｍは

［１］ｎが奇数のとき

　　ｍ＝３（ｎ−１）／２

　　ｎ＝３のとき，ｎ＝３（ｎ−１）／２が成り立つ．

　　そのときに限り，単純多面体となる．

［２］ｎが偶数のとき

　　ｍ＝ｎ^2／２

　　ｎ＝２のとき，ｎ＝ｎ^2／２が成り立つ．

　　そのときに限り，単純多面体となる．

　もし求めている解がｍ＋１であるとしたら，

［１］ｎ＝３→４　（ＯＫ）

［２］ｎ＝２→３　（ＮＧ）

　しかし，ｎ＝２は例外かもしれない．たとえば，ｎが奇数のときｍ＋１，偶数のとき，ｍ＋２とすると，

ｎ＝２→４　　（ＯＫ）

ｎ＝３→４　　（ＯＫ）

ｎ＝４→１０　　（？）

ｎ＝５→７　　（？）

ｎ＝６→２０　　（？）

ｎ＝７→１０　　（？）

ｎ＝８→３４　　（？）

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　２^n＋２ｎ胞体は切頂型なので，切頂点周囲に集まるｎ−１次元面は切頂面か原正多胞体のｎ−１次元面しかない．原正多胞体の０次元面数は面数公式から，ｎ−１次元面は反転公式から求められたが，頂点次数はまったく関係していないのだろうか？

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