■コンウェイのソファ問題(その8)

 パラメータ表示された曲線(x(θ),y(θ))の曲率は

  κ(θ)=(x’y”−x”y’)/(x'^2+y’^2)^3/2

曲率半径は1/|κ(θ)|で与えられる.

[1]円(acosθ,asinθ)の場合

  x’=−asinθ,y’=acosθ

  x”=−acosθ,y”=−asinθ

  κ(θ)=a^2/a^3=1/a

[2]円のインボリュートの場合

  x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ−θcosθ)

  x’=a(θcosθ),y’=a(θsinθ),x’^2+y’^2=(aθ)^2

  x”=a(cosθ−θsinθ),y”=a(sinθ+θcosθ)

  κ(θ)=(aθ)^2/(aθ)^3=1/aθ

[3]そのインボリュートの場合

  x=a(cosθ+θsinθ+θcosθ),y=a(sinθ−θcosθ+θsinθ)

  x’=a(−sinθ+sinθ+θcosθ+cosθ−θsinθ),y’=a(cosθ−cosθ+θsinθ+sinθ+θcosθ)

  x’=a(cosθ+θcosθ−θsinθ),y’=a(sinθ+θsinθ+θcosθ)

  x’^2+y’^2=a^2(1+2θ+2θ^2)

  x”=a(−sinθ+cosθ−sinθ−θsinθ−θcosθ),y’=a(cosθ+sinθ+cosθ+θcosθ−θsinθ)

  x”=a(−2sinθ+cosθ−θsinθ−θcosθ),y”=a(sinθ+2cosθ+θcosθ−θsinθ)

  κ(θ)=a^2(2+2θ+2θ^2)/a^3(1+2θ+2θ^2)^3/2

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