円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．

　円（ａｃｏｓθ，ａｓｉｎθ）の接線方向は（ｓｉｎθ，−ｃｏｓθ）で，長さはａθですから，

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

で与えられるというわけです．

　さらに，円のインボリュートのインボリュートの接線方向は

　　ｘ’＝ａ（−ｓｉｎθ＋ｓｉｎθ＋θｃｏｓθ），ｙ’＝ａ（ｃｏｓθ−ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ）

　　ｘ’＝ａ（θｃｏｓθ），ｙ’＝ａ（θｓｉｎθ），ｘ’^2＋ｙ’^2＝（ａθ）^2

より，（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）で，長さはａθですから，

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ＋θｃｏｓθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ＋θｓｉｎθ）

となる（はず）です．

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　ガーバー型ソファが角を曲がるとき，その回転角αごとに何が起こるか見てみよう．

　　ｒ（α）：ソファの外側の曲線の接線のなす傾きがαである点の曲率半径

　　ｓ（α）：ソファの内側の曲線の接線のなす傾きがαである点の曲率半径

　　ｕ（α）：接点の個数が２より大きいとき角度，すなわち，φより大きいとき定義される

［１］０°＜α＜２，２４４８°＝φ　壁に接触しているのは２点のみ．ｒ（α）＝ｓ（α）＝１／２

［２］２°＜α＜３９．０３５６°＝θ

　壁に接触しているのは４点．ｒ（α）＝ｓ（α）＋ｕ（９０°−α）

［３］３９°＜α＜４５°

　壁に接触しているのは３点．ｒ（α）＝ｕ（９０°−α）

　また，［２］［３］では

　　ｕ’（α）＝−ｕ（９０°−α）−ｓ（α）

が成り立つ．

　円のインボリュート，そのインボリュートもこの微分幾何的な条件を満たしていて，以上のことから，ガーバー型ソファは，ソファの外側が直線→半径１／２の円弧→円のインボリュート→円のインボリュート→そのインボリュート，ソファの内側が直線→半径１／２の円弧→円のインボリュート→そのインボリュート→円のインボリュートからなる区分的に連続曲線の組み合わせになることが計算されるのである．

　すでに述べたように，面積は２．２１９５でハマースレー型ソファを０．５％改善している．

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