Σn+1Ｃk+1（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k，ｋ＝０〜ｎ−１

＝n+1Ｃ1（ｎ）^(n-1）（１）^0＋n+1Ｃ2（ｎ−１）^(n-2）（２）^1＋・・・＋n+1Ｃn-1（２）^(1）（ｎ−１）^(n-2)＋n+1Ｃn（１）^(0）（ｎ）^n-1

＝２ｎ（ｎ＋１）^n-1

が成り立つことを証明できないだろうか．

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　　ΣnＣkａ^n-kｂ^k＝（ａ＋ｂ）^n，ｋ＝０〜ｎ

　　Σn+1Ｃk+1ａ^n-kｂ^k+1＝（ａ＋ｂ）^n+1，ｋ＝−１〜ｎ

　　Σn+1Ｃk+1ａ^n-k-1ｂ^k＝（ａ＋ｂ）^n+1／ａｂ，ｋ＝−１〜ｎ

ｋ＝−１のとき

　　n+1Ｃk+1ａ^n-k-1ｂ^k＝ａ^n／ｂ＝ａ^n+1／ａｂ

ｋ＝ｎのとき

　　n+1Ｃk+1ａ^n-k-1ｂ^k＝ｂ^n／ａ＝ｂ^n+1／ａｂ

となるから，

　　Σn+1Ｃk+1ａ^n-k-1ｂ^k＝｛（ａ＋ｂ）^n+1−ａ^n+1−ｂ^n+1｝／ａｂ，ｋ＝０〜ｎ−１

　　Σn+1Ｃk+1１^(n-k-1）ｎ^k＝｛（ｎ＋１）^n+1−１−ｎ^n+1｝／ｎ

　　Σn+1Ｃk+1２^(n-k-1）（ｎ−１）^k＝｛（ｎ＋１）^n+1−２^n+1−（ｎ−１）^n+1｝／２（ｎ−１）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Σn+1Ｃk+1（ｎ−１）^(n-k-1） ２^k＝｛（ｎ＋１）^n+1−（ｎ−１）^n+1−１｝／２（ｎ−１）

　　Σn+1Ｃk+1ｎ^(n-k-1）１^k＝｛（ｎ＋１）^n+1−ｎ^n+1−１｝／ｎ

　右辺の和をとると

　　｛ｎ（ｎ＋１）^n+1−２Σｋ^n+1｝／ｎ

しかし，このあとが続かない．

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