置換多面体の体積が

　　ｖｏｌ（Ｐ）＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

となることを数学的帰納法で証明してみたい．たたし，ｎ＝０のとき，ｖｏｌ（Ｐ）＝１とする．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　漸化式を

　　Ｖn＝Σn+1Ｃk+1Ｖn-k-1ＶkＨk／ｎ

とし，正単体の基本単体は

　　ａk＝√（２／ｋ（ｋ＋１））　　（ｋ＝１〜ｎ）

で定める．

　　１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝（ｊ−１）ｊ／２＋ｊ（ｊ＋１）／２＝ｊ^2

より

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

は

　　（ｙj-1−ｙj）／ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／（ｊ＋１）

となる．

　点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，

　　ｘ1＝ａ1平面（１−ｘ1／ａ1平面）

　　ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面

までの距離Ｌが等しいならば，

　　（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ＝２Ｌ

　具体的には

　　ｙn-1＝２／（ｎ＋１）

　　ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

　　ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）

となるが，

　　ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）

のままにしておく．

　最終的には，置換多面体の体積公式（角錐分解公式）は

　　Ｖn＝ΣＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Ｖj

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈk／２｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

で与えられる．

　また，

　　Ｖn-k-1Ｖk＝（ｎ−ｋ）^(n-k-1）-1/2／２^(n-k-1)/2・（ｋ＋１）^k-1/2／２^k/2

＝（ｎ−ｋ）^(n-k-1）-1/2・（ｋ＋１）^k-1/2／２^(n-1)/2

　　Ｖn-k-1ＶkＨk＝（ｎ−ｋ）^(n-k-1）（ｋ＋１）^k（ｎ＋１）^1/2／２^(n+2}/2

ここで，ｋ＝０〜ｎ−１より，

　　Σn+1Ｃk+1Ｖn-k-1ＶkＨk＝（ｎ＋１）^n-1（ｎ＋１）^1/2／２^(n+2)/2

　したがって，

　　ｖｏｌ（Ｐ）＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝