■５次方程式・再訪（その３）
【１】３次方程式の解法（カルダノの方法）
３次方程式：
ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０
の場合は，２次方程式のようにな完全立方式＝定数の形にすることは難しそうですが，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができます．
ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ｛（ｘ＋ｂ／３ａ）^3＋ｐ（ｘ＋ｂ／３ａ）＋ｑ｝
ここで，
ｐ＝（３ａｃ−ｂ^2）／３ａ^2，
ｑ＝（２ｂ^3−９ａｂｃ＋２７ａ^2）／２７ａ^3，
ｕ＝ｘ＋ｂ／３ａ
とおけば，
ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０
となり，ｕについては２次の項がなく，３次，１次，定数項が残りますから，因数分解の公式
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）
が使えそうです．ここで，ωは１の３乗根：{(-1+√(-3)}/2であり，
ω^3＝１
また，
ｘ^3−１＝（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋１）
＝（ｘ−１）（ｘ−ω）（ｘ−ω^2）
と因数分解できますから，ω^2＋ω＋１＝０を満たしています．
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝ａ^3−３ｂｃａ＋（ｂ^3＋ｃ^3）
したがって，既知の数ｐ，ｑに対して
ｐ＝−３ｂｃ，
ｑ＝ｂ^3＋ｃ^3
を満たすｂ，ｃが求められれば，
ｕ＝−（ｂ＋ｃ），−（ｂω＋ｃω^2），−（ｂω^2＋ｃω）
すなわち，解
ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂ＋ｃ）
ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω＋ｃω^2）
ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω^2＋ｃω）
が得られたことになります．
ｂ^3＋ｃ^3＝ｑ，
ｂ^3ｃ^3＝−ｐ^3／２７
ですから，ｂ^3，ｃ^3は２次方程式：
ｖ^2−ｑｖ−ｐ^3／２７＝０
の解として定めることができます．
このように，カルダノの方法として知られている３次方程式の根の公式では未知数を変換して２次の項をなくした方程式に変換し，最終的に２次方程式に帰着させます．本質的には，２次方程式の解法で使った正方形の分割を，そっくりそのまま立方体の分割に応用して３次方程式を解くという幾何学的アイデアに基づいています．すなわち，平方完成の原理を立体図形にまで高めたのがカルダノの方法なのです．
実は，真の発見者はカルダノではなく，フォンタナ（通称タルタリア：タルタリアというのはどもる人という意味で彼のニックネームだった）の発見した解法であるというエピソードはいろいろな数学史の書物に取り上げられているのでご存じの方も多いと思われます．
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ここではｘ^2の項の係数を０にする変数変換（カルダノ変換）によって，
ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０
の形にして，このｐ，ｑを用いた形で３次方程式の根の公式を与えましたが，２次方程式の場合と同様に「３次方程式の判別式」を使っても書くことができることを示しておきます．
３次方程式をｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０とおいても，一般性は失われません（もし，ｘ^3の係数がａ≠１ならば，ａで両辺を割ればこの形になる）．この方程式の判別式は，
Ｄ＝−４ｃ^3−２７ｄ^2＋１８ｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ
また，
Ｂ＝−２ｂ^3＋９ｂｃ−２７ｃ，
ｕ^3＝｛Ｂ＋３√（−３Ｄ）｝／２，
ｖ^3＝｛Ｂ−３√（−３Ｄ）｝／２
とおくと，ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の３根は，判別式Ｄを使って
ｘ1＝（−ｂ＋ｕ＋ｖ）／３，
ｘ2＝（−ｂ＋ω^2ｕ＋ωｖ）／３，
ｘ3＝（−ｂ＋ωｕ＋ω^2ｖ）／３
で与えられます．
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【２】３次方程式の解法（ヴィエトの方法）
ヴィエトは三角関数の３倍角公式を使って，カルダノの公式の弱点（還元できない場合）を克服しました．
ｘ^3＋ｐｘ＋ｑ＝０において，ｘ＝λｕとおくと，λ^3ｕ^3＋λｐｕ＋ｑ＝０
ｐ＜０に注意しつつ，λ＝２√（−ｐ／３）とおくと，
４ｕ^3−３ｕ＋ｑ／２√（−ｐ／３）^3＝０
に変形される．ここで，ジラールの標準形ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑでは，判別式は簡単な形で表されて，
Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）
したがって，
−１＜ｑ／２√（−ｐ／３）^3＜１
ｓｉｎ３θ＝ｑ／２√（−ｐ／３）^3
を満たすθが存在することになる．
４ｓｉｎ^3θ−３ｓｉｎθ＋ｓｉｎ３θ＝０
より，ｓｉｎθ，ｓｉｎ（θ＋２π／３），ｓｉｎ（２π／３−θ）が求める３根となる．
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