円柱とトーラスの共通部分の体積を正しく重積分していないので，これまでの計算で求まるわけではない．

　　ｘ＝ｒ0→ｘ^2＋ｚ^2＝（ｒ1−ｒ0）^2

とした円とトーラス側面との間に囲まれる図形の体積を斟酌しなければならない．

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1＝｛ｒ0^2−ｚ^2｝^1/2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝ｒ1＋｛ｒ0^2−ｚ^2｝^1/2

　　ｙ^2＝｛ｒ1＋｛ｒ0^2−ｚ^2｝^1/2｝^2−ｘ^2

　したがって，

　　ｙ＝｛ｒ1＋｛ｒ0^2−ｚ^2｝^1/2｝^2−ｘ^2｝^1/2−ｒ0

をｘ^2＋ｚ^2^2＝（ｒ1−ｒ0）^2の領域で重積分→Ｒ＝｛（ｒ1−ｒ0）^2−ｘ^2｝^2として

　　Ｖ5＝∫(-R,R)∫(-r0,r0)ｙｄｘｄｚ

　　Ｖ5＝∫(-r0,r0)∫(-R,R)ｙｄｚｄｘ

山形＋円柱の体積：Ｖ1＝１６∫(0,x0)ｙ0ｚ0ｄｘ

トーラスの体積：Ｖ2＝２π^2ｒ1ｒ0^2

円柱の体積：Ｖ3＝２πｒ0^2・｛（ｒ1−ｒ0）^2−ｒ0^2｝^1/2

円柱の共通部分：Ｖ4＝２／３・ｄ^3＝１６／３・ｒ0^3

より，十字環の体積は

　　４Ｖ5−Ｖ4＋Ｖ2

で与えられる．

　なお，

　　［参］小寺裕「関孝和・算聖の数学思潮」現代数学社

では，

　　Ｄ＝ｒ1＋ｒ0＝１０，ｄ＝２ｒ0＝１→ｒ1＝９．５，ｒ0＝０．５

として近似計算した数値解が掲載されている．

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