同じ大きさの正４面体２個を屋根瓦状に重ねた相貫体には，ケプラーの８角星（星形八面体）という名前がつけられています．この場合，外側に立方体，内側に正八面体ができます．今回のコラムでは互いに双対な正多面体同士，すなわち，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について紹介したいと思います．

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【１】互いに双対な正多面体の相貫体

　双対な２つのプラトン立体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置します．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．また，正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．

　すなわち，正多面体とその双対多面体との共通部分（intersection）は，それぞれ立方８面体（６・８面体）と１２・２０面体であり，また，それぞれ菱形１２面体と菱形３０面体に内接するというわけです．

　このことから，立方体と正八面体の１辺の長さの比は１：√２，正１２面体と正２０面体の１辺の長さの比は１：φになることがわかります．また，前者では立方体に貼り付ける外四角錐の底辺に対する二面角は54.7357°，後者では正１２面体に貼り付ける外五角錐の底辺に対する二面角は37.3774°と計算されます．

　相貫体の見方を逆にして，正八面体に貼り付ける外三角錐の底辺に対する二面角も54.7357°，正２０面体に貼り付ける外三角錐の底辺に対する二面角も37.3774°で同じです．底面や側面が違う形であるにも関わらず，底辺に対する二面角が等しいという調和が取れている・・・このことは決して自明のことではなく，双対関係にある正多面体同士のなせるワザといえるでしょう．

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