立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．また，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．一般に，プラトン立体の複合多面体は２つのプラトン立体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したものである．

　立方体に内接する２つの正４面体の他にも，正１２面体の頂点の８つを選ぶと立方体の頂点となり，そのような選び方は合計５通りあるから，立方体に外接する５つの正１２面体なども考えることができる．実際，正１２面体にそれぞれ色の違う５つの立方体を内接させることができるような数学用模型がいくつも作られている．今回のコラムでは，２個以上の正多面体を組み合わせた立体のintersectionについて考えてみよう．

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【１】複合正多面体のintersection

　同じ正多面体を中心が重なるように合わせたもので，正４面体を２つ，屋根瓦状にあわせたケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものです．このとき，８個の頂点は立方体の頂点をなします．残りの４つは以下のものになります．

　　正４面体を５つあわせたもの

　　正４面体を１０個あわせたもの

　　立方体を５つあわせたもの

　　正８面体を５つあわせたもの

　前３者は頂点を正１２面体の頂点の位置に配置したもので，正８面体を５つあわせた複合多面体の頂点は２０・１２面体になります．また，組み合わせた正多面体すべてのintersectionは立方体を５つあわせたものでは菱形３０面体に，その他のintersectionは正２０面体になります．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　核（intersection）　　　殻（頂点）

　　正４面体を２つあわせたもの　　　正８面体　　　　　　　　立方体

　　正４面体を５つあわせたもの　　　正２０面体　　　　　　　正１２面体

　　正４面体を１０個あわせたもの　　正２０面体　　　　　　　正１２面体

　　立方体を５つあわせたもの　　　　菱形３０面体　　　　　　正１２面体

　　正８面体を５つあわせたもの　　　正２０面体　　　　　　　２０・１２面体

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