【１】正多面体群

　立方体の頂点をうまく選ぶと正四面体を内接させることができる．さらに，正１２面体の頂点をうまく選ぶと立方体を内接させることができる．これは正多面体群の同型を示している．すなわち，

［１］４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型

［２］４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型

［３］５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型

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【２】双対問題

　前述したことの双対問題を考える．

［１］正四面体の面をうまく選ぶと正八面体を内接させることができる．

［２］正八面体の面をうまく選ぶと正２０面体をさせることができる．

さらに

［３］正四面体の面をうまく選ぶと正２０面体を内接させることができる．

　［２］については，正八面体の辺を黄金比で分割した点を結ぶと正二十面体が得られる．このとき，正二十面体と正八面体は面を共有しているからＯＫである．

　［１］についてもほぼ同様で，正四面体の辺の中点点を結ぶと正八面体が得られる．このとき，正八面体と正四面体は面を共有しているからＯＫである．

　［３］については，正四面体の各面に各辺を１：黄金比に順次内分した正三角形を作る．それらを繋いでいくと正２０面体ができる．

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