■置換多面体の空間充填性(その21)

 (その13)以降,空間充填2^n+2n面体の体心立方状充填の原点以外の体心座標を整数点(mx,nx,・・・)として,

[1]偶数次元(x,x,・・・,0,0)と原点との距離は,n=2kとして,kx

[2]奇数次元(x,x,・,x/2,・・,0,0)と原点との距離は,n=2k+1として,x√(k+1/4)

から等距離にあるものを探索してきた.

 しかし,その中には不適なものが含まれている可能性を否定できない.再検してみたい.

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【1】2次元(x)

 頂点(x,0)からの距離がxの中心座標を求めると

  (x,x),(x,−x),(2x,0)

の3つ.これらの距離はxより大きいから,いずれも頂点(x,0)の周囲に集まることができる.→n=2のときは正方形の頂点のまわりには4個の図形が集まる.→OK

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【2】3次元(x√5/2)

 頂点(x,x/2,0)からの距離がx√5/2の中心座標を求めると

  (x,x,x),(x,x,−x),(2x,x,0)

の3つ.これらの距離はx√5/2より大きいから,いずれも頂点(x,x/2,0)の周囲に集まることができる.→n=3のときは切頂八面体の頂点のまわりには4個の図形が集まる.→OK

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