今回のコラムでは
［参］東京理科大学数学教育研究所編「数学トレッキングツアー」教育出版
［参］東京理科大学数学教育研究所編「数学トレッキングガイド」教育出版
を参考にして，不等式や因数分解に関する雑多な話題を取り上げることにする．
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【１】Mathematicaによる証明
まず，
算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均
の不等式から始めたい．Mathematicaの達人・阪本ひろむ氏にお願いして，３変数の算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均の不等式
（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）／２^3≧（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）^3／３^3
を調べてもらったところ，素直に計算してくれてtrueを返してきた．Mathematicaが計算してくれた部分の証明は不明であるが，便利なパッケージがあってそれが結構使えることに感嘆するのみである．
しかし，４変数版
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2）（ａ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）／３^4≧（ａｂｃ＋ａｂｄ＋ａｃｄ＋ｂｃｄ）^4／４^4
は数時間たっても計算が終わらず，その後，徹夜稼働で結果を待ったが，システムのメモリーを使い果たしエラー終了となったそうだ．コンピュータは残念ながら不調であったが，人間ならば３変数でも４変数でもヘルダーの不等式を使ってうまい証明を与えることができるのだが，・・・．
このような不等式をコンピュータに自動証明させるためには，前提となる基本定理が与えられていればコンピュータは自分の目的に都合のよいように変形しうまくあてはめて証明に至るはずである．このような試みは人工知能研究の有力な分野として古くから研究されているのだが，コンピュータも往々にして失敗する．まだまだ人間のように融通がきかないということだろう．
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【２】中・高校生のための因数分解
ｘ^2−５ｘ＋６は因数分解できるが，ｘ^2＋１は複素数を使わない限り因数分解できない．したがって，因数分解を見つけるには典型例を記憶しておくという原始的な方法が最も近道のようである．代表的なところでは
ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）
ａ^2＋２ａｂ＋ｂ^2＝（ａ＋ｂ）^2，ａ^2−２ａｂ＋ｂ^2＝（ａ−ｂ）^2
ｘ^2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^2
ａ^3＋ｂ^3＝（ａ＋ｂ）（ａ^2−ａｂ＋ｂ^2），ａ^3−ｂ^3＝（ａ−ｂ）（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）＝１／２（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝
また，高校数学のカリキュラムからは消えているのだが，
ａ^4＋ａ^2ｂ^2＋ｂ^4＝ａ^4＋２ａ^2ｂ^2＋ｂ^4−ａ^2ｂ^2
＝（ａ^2＋ｂ^2）^2−ａ^2ｂ^2＝（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ａ^2−ａｂ＋ｂ^2）
この因数分解のミソは適当に余分な項を加減していることである．
ところで，
一松信「数学とコンピュータ」共立出版
を読んで知ったことであるが，是非ここで紹介（受け売り）しておきたい．
中学校の課題研究の際，Mathematicaに「ｘ^4＋１を因数分解せよ」と入力しても「因数分解できません」と返ってきた．ｘ^4＋２，ｘ^4＋３も同様である．ところが，ｘ^4＋４に対しては
ｘ^4＋４＝（ｘ^2＋２ｘ＋２）（ｘ^2−２ｘ＋２）
という結果が返ってきて驚かされた．さらに，ｘ^4＋５，ｘ^4＋９，ｘ^4＋１６，ｘ^4＋２５，・・・と試みても「因数分解できません」という結果であったが，根気強く続けて，ｘ^4＋６４では
ｘ^4＋６４＝（ｘ^2＋４ｘ＋８）（ｘ^2−４ｘ＋８）
とうまくいった．
よくよく理由を考えてみると，一般式
（ｘ^2＋ｃ）^2−（ｂｘ）^2＝ｘ^4＋（２ｃ−ｂ^2）ｘ^2＋ｃ^2
＝（ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ）（ｘ^2−ｂｘ＋ｃ）
において，２ｃ＝ｂ^2の特別な場合になっていること．また，この変形はあまりに技巧的で高校数学のカリキュラムからも消えているのだが，それを数式処理システムを使って発見的に得ることができたことなど，数式処理システムの効用についてのエピソードであるが，数式処理システムが数学研究のみならず，数学教育にも有効と考えられる所以である．
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【３】大学生のための因数分解？
そもそもこのシリーズは
ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ
は因数分解不可能であることから始まって，秘かに回を重ねてきたものである．
ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２
を並べて書くと，両者とも右辺には多項式Ｐkを重みとする平方の和の形
ΣＰk（ａi−ａj）^2
が現れていることに気づかされるだろう．前者ではＰk＝１，後者ではＰk＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２となっているというわけである．それではせめて多項式の平方の和の形に表せないだろうか？
ヒルベルトの定理は多項式の平方の和となることを保証してくれる．たとえば，
ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ
＝（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｃ^2−ｄ^2）^2＋２（ａｂ−ｃｄ）^2
は３個の多項式の平方の和である．
フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式を用いると
ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ
＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2
Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／６
Ｐ2＝（２（ａ^2＋ａｃ＋ｃ^2）＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋２ｂｄ）／６
Ｐ3＝（２（ａ^2＋ａｄ＋ｄ^2）＋（ａ＋ｄ）（ｂ＋ｃ）＋２ｂｃ）／６
Ｐ4＝（２（ｂ^2＋ｂｃ＋ｂ^2）＋（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｄ）＋２ａｄ）／６
Ｐ5＝（２（ｂ^2＋ｂｄ＋ｄ^2）＋（ｂ＋ｄ）（ａ＋ｃ）＋２ａｃ）／６
Ｐ6＝（２（ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2）＋（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ）＋２ａｂ）／６
で与えられるから，この表し方は１通りではないことがわかる．
ともあれ，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，算術平均と幾何平均の不等式
ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ
が証明されるのである．
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【４】ベクトルの積の大きさ＝ベクトルの大きさの積
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2
＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2
はラグランジュの恒等式（あるいはフィボナッチの等式）と呼ばれるもので，一般に
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2 あるいは(i<j)として
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2
と書ける．
コーシー・シュワルツの不等式
（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2
はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．
ラグランジュの恒等式は，複素数を使って
ｚ1＝ａ＋ｂｉ，ｚ2＝ｃ＋ｄｉ
ｚ1ｚ2＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ
｜ｚ1ｚ2｜＝｜ｚ1｜｜ｚ2｜
と表すことで証明できる．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示している．
ついでに言うと，三角不等式
｜ｚ1＋ｚ2｜≦｜ｚ1｜＋｜ｚ2｜
は
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）−（ａｃ＋ｂｄ）^2≧（ａｄ−ｂｃ）^2≧０
と表すことで証明できる．
また，４平方和問題
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
は
ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，
ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，
ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，
ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ
とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示している．
しかし，３平方和問題
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2
は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいかない．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからである．
｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜
すなわち
（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）
の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されている（１８９８年）．
したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのである．
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