年の瀬なので，何か大事なことを遣り残したことはないかと振り返ってみたところ，デルトイドの幾何学（その４）において釈然としない点を発見した．釈然としない点は，この星状図形では長さ１の線分を１回転させることはできないのではないかという素朴な疑問である．

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【１】素朴な疑問

　「デルトイドの幾何学」シリーズは「掛谷の問題」に焦点をあてて，２ｎ＋１個の尖点をもつ星状領域の面積Ｓnが掛谷定数：（５−２√２）π／２４に収束すること，すなわち

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４＜π／１１

となることを紹介したものである．その際，半径ｒの円の直径上に長さ１の線分がおけるものという条件を設けている．

　２ｎ＋１個の尖点をもつ星状図形の接線が曲線に挟まれる部分の長さｌは，点Ｐをこの曲線上の任意の点とすると，点Ｐが尖点上にあるとき接線の長さは最大になること，同じことであるが弧の中間点にあるとき最小になる．そして，点Ｐが弧の中間点にあるときの接線の長さは，ｎを大きくすれば次第に１に近づくことになり「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積」を与える近似図形になることが理解される．

　すなわち，この星状図形では長さ１の線分を１回転させることはできないが，ｎ→∞になると回転できるようになる．このことから，半径ｒの円の直径上に長さ１の線分がおけるという条件下でなく，接線の長さの最小値ｌ0が１のときの星状領域の面積Ｓnを求めて，デルトイドの場合と比較すべきではなかろうか？

　最も狭隘な部分をミニマックス化するの際の相似比はｌ0：１であるから

　ｒ→ｒ／ｌ0，Ｓn→Ｓn／ｌ0^2

と補正してみることにしよう．

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【２】計算結果

［１］補正前（その２）

ｎ　　　　　　　ｒ　　　　　　Ｓn

1 .788675 .300904

2 .83437 .290756

3 .844221 .2876

4 .848014 .286284

5 .84988 .285616

6 .850937 .285233

7 .851595 .284994

8 .852032 .284814

9 .852338 .284709

10 .852559 .284627

20 .853294 .284336

30 .853436 .284321

40 .853487 .284193

50 .853511 .284723

60 .853524 .284483

70 .853531 .28351

80 .853537 .283473

90 .85354 .283648

100 .853543 .284463

　３尖点星状領域はデルトイドよりもやせた図形で，このときすでに掛谷定数に近い値が得られています．５個の尖点をもつ図形の場合，その面積はデルトイドの面積π／８（.392699）の約３／４（.290756）になります．ｎを大きくすると数値計算誤差のため，計算結果が揺らいでしまいます．

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［２］補正条件（その４）

ｎ　　　　　　　ｌ0　　　　　ｌ0／ｒ

1 .87084 1.10418

2 .958013 1.14819

3 .979092 1.15976

4 .98747 1.16445

5 .991642 1.1668

6 .994045 1.16818

7 .995519 1.169

8 .996509 1.16957

9 .997219 1.16998

10 .9977 1.17024

20 .999471 1.17131

30 .999491 1.17114

40 .999609 1.17121

50 1.00008 1.17172

60 .998292 1.16961

70 .999244 1.17072

80 .997806 1.16903

90 .99679 1.16783

100 1.00001 1.1716

　このとき，ｒ→（２＋√２）／４であるから

　　ｌ／ｒ　→　２（２−√２）=1.17157

なお，デルトイドの場合，ｒ＝３／４，ｌ＝１であるから

　　ｌ／ｒ＝４／３=1.33333

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［３］補正後（ミニマックス化）

ｎ　　　　　　　ｒ／ｌ0　　　Ｓn／ｌ0^2

1 .905649 .396782

2 .870938 .316801

3 .862249 .300015

4 .858774 .293596

5 .857043 .290451

6 .856035 .288661

7 .855429 .287566

8 .855017 .286813

9 .854714 .286299

10 .854524 .28594

20 .853746 .284637

30 .853871 .28461

40 .853821 .284415

50 .853445 .284678

60 .854984 .285457

70 .854177 .283939

80 .855413 .284721

90 .856289 .285478

100 .853534 .284457

　補正後の３尖点星状領域（ｎ＝１）はデルトイドよりも大きいのですが，５個の尖点をもつ図形（ｎ＝２）の面積はデルトイドの面積π／８（.392699）よりも小さく約３／４（.316801）になります．ｎが大きいところではｌ0→１なので補正前の結果とほぼ同じ値です．

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