■置換多面体の空間充填性(その15)

 6次元の並進ベクトルを,5次元面に関して対称な32ベクトルとする.それらによって,中心はそこに移る.

 最終的に頂点(x,x,x,0,0,0)の周囲に集まることができる中心座標を探すことになる.

 中心から頂点までの距離はx√3であるから,このなかで(x,x,x,0,0,0)までの距離がx√3であるのは,

(x,x,x,x,x,x),(x,x,x,x,x,−x),(x,x,x,x,−x,x),(x,x,x,−x,x,x),(x,x,x,x,−x,−x),(x,x,x,−x,x,−x),(x,x,x,−x,−x,x),(x,x,x,−x,−x,−x)の8つである.

 さらに,(2x,2x,2x,0,0,0)も(x,x,x,0,0,0)の周囲に集まることができる.→n=6のとき,この図形の頂点のまわりには10個の図形が集まる.

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 7次元の並進ベクトルを,6次元面に関して対称な64ベクトルあって,それらによって,中心はそこに移る.

 最終的に頂点(x,x,x,x/2,0,0,0)の周囲に集まることができる中心座標を探すことになる.

 中心から頂点までの距離はx・√13/2であるから,このなかで(x,x,x,x/2,0,0,0)までの距離がx・√13/2であるのは,

(x,x,x,x,x,x,x),(x,x,x,x,x,x,−x),(x,x,x,x,x,−x,x),(x,x,x,x,−x,x,x),(x,x,x,x,x,−x,−x),(x,x,x,x,−x,x,−x),(x,x,x,x,−x,−x,x),(x,x,x,x,−x,−x,−x)の8つである.

 さらに,(2x,2x,2x,x,0,0,0)も(x,x,x,x/2,0,0,0)の周囲に集まることができる.→n=7のとき,この図形の頂点のまわりには10個の図形が集まる.

[注](2x,x,x,−x,0,0,0),(x,2x,x,−x,0,0,0)(x,x,2x,−x,0,0,0)も(x,x,x,x/2,0,0,0)からの距離がx・√13/2である.並進ベクトルを使って到達可能と思われる.これも入れれば,n=7のときはこの図形の頂点のまわりには13個の図形が集まることになる.

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