（その１１）（その１４）（その１６）では算術平均・幾何平均など各種平均を取り扱ったが，今回のコラムでは算術平均・幾何平均の不等式について再考してみたい．

　　（ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn）／ｎ≧（ａ1ａ2・・・ａn）^(1/n)

また，もっと一般的には，δ1，・・・，δnを

　　δ1＋・・・＋δn＝１

を満たす重みとすると

　　δ1ａ1＋δ2ａ2＋・・・＋δnａn≧ａ1^δ1ａ2^δ2・・・ａn^δn

が有名な算術平均・幾何平均不等式である．

　算術平均・幾何平均不等式のもっとも単純な場合が

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

である．これより

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2≧０

を示す方が簡単であろう．改めてａ→√ａ，ｂ→√ｂと置き換えて

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ≧０

を示すためには，受験参考書に必ず書いてある

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２≧０

という公式を思い出してもらいたい．

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

さらに高次元化した

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

などが，本質的に算術平均と幾何平均の差となっていることは，このコラムの読者であれば既におわかりであろう．

　上に凸な関数では，不等式

　　φ（(a1+a2+･･･+an)/n）≧（φ(a1)＋φ(a2)＋・・・＋φ(an)）／ｎ

が成立する．このことからφ(x)=logxとおくと，算術平均・幾何平均の不等式は容易に証明される．

　また，不等式

　　f(x)=exp(x)-x-1≧0

　　g(x)=x^n-nx+(n-1)=x^n-1-n(x-1)≧0

あるいはｘ→ｘ＋１と置き換えて

　　h(x)=(x+1)^n-1-nx≧0　　（ベルヌーイの不等式）

などを使っても算術平均・幾何平均の不等式を示すことができる．

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【１】ｎ＝２，４，８，・・・，２^m，・・・の場合

　　ａ^4＋ｂ^4≧２ａ^2ｂ^2

　　ｃ^4＋ｄ^4≧２ｃ^2ｄ^2

を辺々を加えると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧２（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）

右辺に対して，算術平均・幾何平均不等式を用いると，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

が得られる．

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8−８ａｂｃｄｅｆｇｈ

に対しても，４個ずつの組に分けて考えると

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2

　　ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8≧４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｅ^8＋ｆ^8＋ｇ^8＋ｈ^8

　≧４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2＋４ｅ^2ｆ^2ｇ^2ｈ^2≧８ａｂｃｄｅｆｇｈ

が示される．

　この方法を繰り返して使うと，

　　ｎ＝２^m→２^(m+1)→２^(m+2)→・・・

の場合を示すことができる．

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【２】ｎ＝３，・・・，２^m−１，・・・の場合

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

の右辺において，ｄ＝（ａｂｃ）^(1/3)とおくと

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋（ａｂｃ）^(4/3)≧４（ａｂｃ）^(4/3)

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧３（ａｂｃ）^(4/3)

　あるいは，左辺においてｄ^4＝（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）／３とおくと

　　（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）×４／３≧４ａｂｃ｛（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）／３}^(1/4)

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧３（ａｂｃ）^(4/3)

　ａ→ａ^(3/4)，ｂ→ｂ^(3/4)，ｃ→ｃ^(3/4)と置き換えて

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3≧３ａｂｃ

　同様に，ｎ＝２^m→２^m−１→２^m−２→・・・であるから，【１】【２】を併せれば，すべてのｎについて算術平均・幾何平均不等式

　　算術平均≧幾何平均

が証明されたことになる．

　また，調和平均は逆数の算術平均の逆数であるから，算術平均・幾何平均不等式においてａ→１／ａ，ｂ→１／ｂ，ｃ→１／ｃ，・・・と置き換えれば

　　幾何平均≧調和平均

の不等式を間接的に導くことができる．すなわち

　　算術平均≧幾何平均≧調和平均

が成立する．

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【３】算術平均の幾何平均と幾何平均の算術平均

　ここで，簡単な演習問題を解いてみよう．算術平均・幾何平均不等式の巡回置換

　　ａ^2＋ｂ^2≧２ａｂ，ｂ^2＋ｃ^2≧２ｂｃ，ｃ^2＋ａ^2≧２ｃａ

を加えると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2≧ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

さらに，算術平均・幾何平均不等式（ｎ＝３）を使って

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≧３（ａ^2ｂ^2ｃ^2）^(1/3)

　　（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）^3≧２７ａ^2ｂ^2ｃ^2

　一方，これらをかけ合わせると，

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）≧８ａ^2ｂ^2ｃ^2

この２式から

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）／８

　　（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）^3／２７

の大小比較が問題となってくるが，ａ→√ａ，ｂ→√ｂ，ｃ→√ｃと置き換えると

　　｛（ａ＋ｂ）／２・（ｂ＋ｃ）／２・（ｃ＋ａ）／２｝^(1/3)

　　（√ａｂ＋√ｂｃ＋√ｃａ）／３

であるから，前者は「算術平均の幾何平均」，後者は「幾何平均の算術平均」の形になっている．

　おそらくこの大小比較を直観的に求められるほど幾何学的な直感にたけた人はいないであろうから，以下，解析的な証明を試みたい．

（証明）

「算術平均の幾何平均」−「幾何平均の算術平均」をｘの関数とみて，Ｆ（ｘ）とおくと

　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ｘ^2）／８−（ｘｂ＋ｂｃ＋ｃｘ）^3／２７

　　Ｆ（０）＝ｂ^2ｃ^2（ｂ^2＋ｃ^2）／８−ｂ^3ｃ^3／２７

　＝ｂ^2ｃ^2／８・｛（ｂ^2＋ｃ^2）−８ｂｃ／２７｝

　＝ｂ^2ｃ^2／８・｛（ｂ−ｃ）^2＋４６ｂｃ／２７｝≧０

　また，微分すると

　　Ｆ’（ｘ）＝（ｂ^2＋ｃ^2）／４・（２ｘ^3＋（ｂ^2＋ｃ^2）ｘ）−（ｂ＋ｃ）／９・（（ｂ＋ｃ）ｘ＋ｂｃ）^2

　この結果，Ｆ’（ｘ）≧０が得られればＦ’（ｘ）≧０，また，Ｆ（０）≧０より「算術平均の幾何平均は，幾何平均の算術平均よりも大きい」ことが証明されたことになるのだが，残念ながら

　　Ｆ’（０）＝−（ｂ＋ｃ）（ｂｃ）^2／９≦０

となってしまい，証明は失敗である．

　ここでは解析的な証明を考えたが，解析的な方法は人の心にストレートに訴えるものがあり着実であるが，面白味に欠ける方法であり往々にして失敗するというわけである．

　　算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均

の証明にはもっとうまい手があって，ヘルダーの不等式を使って別証明を与えることができるそうだ．

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【４】ヘルダーの不等式

　ヘルダーの不等式とは，コーシー・シュワルツの不等式

「２乗可積分な関数ｆ，ｇに対して，以下の不等式が成立する．

　　（∫ｆ2∫ｇ2）^(1/2)≧∫ｆｇ」

の拡張と考えることができる．

（証明）

　　∫（ｔｆ−ｇ）^2ｄｘ＝ｔ^2∫ｆ2−２ｔ∫ｆｇ＋∫ｇ2≧０

　したがって，ｔを変数とする２次式の判別式

　　Ｄ＝（∫ｆｇ）^2−（∫ｆ2∫ｇ2）≦０

　等号はｇ＝ｃｆ　　　（ｃ：定数）のとき

　コーシー・シュワルツの不等式の離散版が

　　（Σａi^2）^(1/2)（Σｂi^2）^(1/2)≧Σａiｂi

であって，それに対して，ヘルダーの不等式は

［１］ｐ，ｑ＞１，１／ｐ＋１／ｑ＝１のとき，以下の不等式が成立する．

　　（Σａi^p）^(1/p)（Σｂi^q）^(1/q)≧Σａiｂi

［２］ｐ，ｑ，ｒ＞１，１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１のとき，以下の不等式が成立する．

　　（Σａi^p）^(1/p)（Σｂi^q）^(1/q)（Σｃi^r）^(1/r)≧Σａiｂiｃi

というものである．

　ｐ＝ｑ＝ｒ＝３，ｎ＝３のとき，［２］は

　　（ａ1^3＋ａ2^3＋ａ3^3）^(1/3)（ｂ1^3＋ｂ2^3＋ｂ3^3）^(1/3)（ｃ1^3＋ｃ2^3＋ｃ3^3）^(1/3)≧ａ1ｂ1ｃ1＋ａ2ｂ2ｃ2＋ａ3ｂ3ｃ3

と書ける．これで準備が済んだので，早速

　　算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均

の証明にとりかかろう．

（証明）

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　＝ａ^2/3ｂ^2/3（ａｂ）^1/3＋ｂ^2/3ｃ^2/3（ｂｃ）^1/3＋ｃ^2/3ａ^2/3（ｃａ）^1/3

　ここで，ヘルダーの不等式を使って

　　ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　≦（ａ^2＋ｂ^2＋ａｂ）^1/3（ｂ^2＋ｃ^2＋ｂｃ）^1/3（ｃ^2＋ａ^2＋ｃａ）^1/3

算術平均・幾何平均不等式（ｎ＝２）を使って

　≦（ａ^2＋ｂ^2＋（ａ^2＋ｂ^2）／２）^1/3（ｂ^2＋ｃ^2＋（ｂ^2＋ｃ^2）／２）^1/3（ｃ^2＋ａ^2＋（ｃ^2＋ａ^2）／２）^1/3

　＝３／２・｛（ａ^2＋ｂ^2）（ｂ^2＋ｃ^2）（ｃ^2＋ａ^2）｝^1/3

　これでやっと「算術平均の幾何平均は，幾何平均の算術平均よりも大きい」ことが証明されたことになる．算術平均≧幾何平均であるが，左辺の幾何平均，右辺の算術平均を比べても，まだ前者の方が大きいのである．

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　算術平均≧幾何平均の不等式は

　　（Σａi）／（ｎ−１）≧Πａi^(1/(n-1))

であるから，算術平均の幾何平均≧幾何平均の算術平均の不等式をさらに高次元化すると

　　｛Π（Σａi）／（ｎ−１）｝^(1/n)≧｛Σ（Πａi^(1/(n-1))）｝／ｎ

が成り立つ．

　ｎ＝４への拡張版を具体的に書くと

　　｛（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／３・（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2）／３・（ａ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）／３・（ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）／３｝^(1/4)

　≧（ａｂｃ＋ａｂｄ＋ａｃｄ＋ｂｃｄ）／４

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【５】雑感

　ところで，「算術平均の幾何平均」も「幾何平均の算術平均」もどちらもストレートに直感に訴える意味を持ち合わせていないように思える．一体どのような数学的意味を持っているのだろう．

　（その１６）で述べたように，１組の数（ａ，ｂ）に対して算術および幾何平均を考えて，

　　ａ←（ａ＋ｂ）／２

　　ｂ←√ａｂ

と繰り返す算法を算術幾何平均法と呼ぶ．この極限Ｍ（ａ，ｂ）は楕円積分

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}）

により表すことができる（ガウス）．

　すなわち，「算術平均の幾何平均」と「幾何平均の算術平均」の大小比較は算術幾何平均（楕円積分）と関係しているのである．

［参］東京理科大学数学教育研究所編「数学トレッキングツアー」教育出版

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