置換多面体の空間充填性の証明を利用して，ｎ＞２のペトリー多面体の非空間充填性を証明することはできないだろうか？

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【１】置換多面体の空間充填性

　切頂八面体（３次元置換多面体）では頂点に４桁の数字をラベルし，隣接する頂点（辺で結ばれる頂点）にはその互換となる数字をラベルする．たとえば１２３４に隣接する頂点には

　　２１４３，１３２４，１２４３

がくる．これが多面体を取り囲むわけであるから，その頂点数は４！＝２４となる．

　置換多面体の空間充填性を最も簡単に説明するためには，全体を１次元あげて，ｎ＋１次元空間内のｎ次元超平面をとるとよい．ラベルされた数字を座標とみなすと，切頂八面体は３次元超平面

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０

として扱うことができる．

　これが３次元超平面をタイルすることがわかればよい．そこで（１，１，１，１）と直交する４ベクトル

　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

を選び，平行移動させるのである．

　一般に，並進ベクトルは

　　（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝０

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn　　（ｍｏｄ　ｎ）

となるようなｎ個のベクトルを選ぶことになる．

［１］正六角形の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝６

　　（１，１，−２），（１，−２，１），（−２，１，１）

［２］切頂八面体の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０

　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

［３］４次元置換多面体の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ＝１５

　　（１，１，１，１，−４），（１，１，−４，１，１）

　　（１，−４，１，１，１），（１，−４，１，１，１）

　　（−４，１，１，１，１）

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn＝１　　（ｍｏｄ　ｎ）

としてよさそうである．

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【２】立方体の断面となるペトリー多面体

　立方体の８個の頂点を（±１，±１，±１）とし，（１，１，１）と（−１，−１，−１）を結ぶ対角線に直交する平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となる．

　たとえば，（−１，０，１）は頂点（−１，−１，１）と頂点（−１，１，１）を結ぶ辺の中点である．

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　　（１，１，−２），（１，−２，１），（−２，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（−１，０，１）→（０，１，−１），（０，−２，２），（−３，１，２）

　（０，−１，１）→（１，０，−１），（１，−３，２），（−２，０，２）

　（−１，１，０）→（０，２，−２），（０，−１，１），（−３，２，１）

　（１，−１，０）→（２，０，−２），（２，−３，１），（−１，０，１）

　（１，０，−１）→（２，１，−３），（２，−２，０），（−１，１，０）

　（０，１，−１）→（１，２，−３），（１，−１，０），（−２，２，０）

より，

　（−１，０，１）→（０，１，−１）

　（０，−１，１）→（１，０，−１）

　（−１，１，０）→（０，−１，１）

　（１，−１，０）→（−１，０，１）

　（１，０，−１）→（−１，１，０）

　（０，１，−１）→（１，−１，０）

となって，６点がそれぞれ別の６点に移動している（空間充填図形）．

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　４次元では１６個の頂点を（±１，±１，±１，±１）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個の座標をもつ６頂点

　　（−１，−１，１，１），（−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１）

　　（−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１）

からなる図形であること判明する．

　たとえば，（−１，−１，１，１）は辺の中点でなく頂点そのものである．

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　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（−１，−１，１，１）→（０，０，２，−２），（０，０，−２，２），（０，−４，２，２），（−４，０，２，２）

となって，別の点に移動しない（非空間充填図形）．

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【３】正八面体の断面となるペトリー多面体

　正八面体の６個の頂点を（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）とし，平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となる．

　たとえば，（−１，０，１）は頂点（−２，０，０）と頂点（０，０，２）を結ぶ辺の中点である．

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　　（１，１，−２），（１，−２，１），（−２，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（−１，０，１）→（０，１，−１）

　（０，−１，１）→（１，０，−１）

　（−１，１，０）→（０，−１，１）

　（１，−１，０）→（−１，０，１）

　（１，０，−１）→（−１，１，０）

　（０，１，−１）→（１，−１，０）

となって，６点がそれぞれ別の６点に移動している（空間充填図形）．

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　４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，−１，０，０），±（１，０，−１，０），±（１，０，０，−１）

　　±（０，１，−１，０），±（０，１，０，−１），±（０，０，１，−１）

からなる図形であること判明する．

　たとえば，（１，−１，０，０）は頂点（２，０，０，０）と頂点（０，−２，０，０）を結ぶ辺の中点である．

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　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（−１，−１，０，０）→（０，０，１，−３），（０，０，−３，１），（０，−４，１，１），（−４，０，１，１）

となって，別の点に移動しない（非空間充填図形）．

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