［Ｑ］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする．外接円の半径Ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．

［Ａ］ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単そうである．ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られる．

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［Ｑ２］円に内接する四角形（辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄ）がある．このとき，円の直径を求めよ．

　ここで，（その１１）の続きを考えてみたい．［１］−［４］は

　　２Ｒ＝２ａｂｅ／４Δ(abe)・・・［１］

　　２Ｒ＝２ｃｄｅ／４Δ(cde)・・・［２］

　　２Ｒ＝２ｆｂｃ／４Δ(fbc)・・・［３］

　　２Ｒ＝２ｆａｄ／４Δ(fad)・・・［４］

　　Ｓ＝Δ(abe)＋Δ(cde)＝（ａｂ＋ｃｄ）ｅ／４Ｒ

　　Ｓ＝Δ(fbc)＋Δ(fad)＝（ａｄ＋ｂｃ）ｆ／４Ｒ

　　Ｓ^2＝（ａｂ＋ｃｄ）ｅ／４Ｒ・（ａｄ＋ｂｃ）ｆ／４Ｒ

＝（ａｂ＋ｃｄ）（ａｄ＋ｂｃ）（ａｃ＋ｂｄ）／１６Ｒ^2

　四角形が円に内接するとき，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

　したがって，

　　１６Ｒ^2＝（ａｂ＋ｃｄ）（ａｄ＋ｂｃ）（ａｃ＋ｂｄ）／Ｓ^2

＝（ａｂ＋ｃｄ）（ａｄ＋ｂｃ）（ａｃ＋ｂｄ）／（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

＝１６（ａｂ＋ｃｄ）（ａｄ＋ｂｃ）（ａｃ＋ｂｄ）／（ｂ＋ｃ＋ｄ−ａ）（ａ＋ｃ＋ｄ−ｂ）（ａ＋ｂ＋ｄ−ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ）

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