プラトーの問題は，変分法の問題となり，実際に解くのは大変難しいのですが，ここでは簡単に解ける問題を扱ってみることにします．

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【１】カテノイドとアンデュロイド

　（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

　（答）この問題は「y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい．」と等価です．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられます．

　懸垂線（カテナリー）の問題を変分法によって解いたのはベルヌーイであったのですが，これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであることが導かれます．

　懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることがわかります．カテナリーを準線のまわりに回転させてできる曲面は懸垂曲面（カテノイド）と呼ばれます．なお，カテノイドは，唯一の回転極小曲面であることも示されています．

　懸垂面は極小曲面（表面積最小曲面）の重要な例ですが，常螺旋面，エネッパー曲面，シェルク曲面など，極小曲面については非常に多くの例と結果が知られています．

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　次に，

　（問）互いに平行な２つの円盤に石けん膜を張ったとき，その形は？

を考えてみることにしましょう．

　互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，膜の両側の気圧は等しい状態にあるのですが，平行な円形の枠を円盤に代えれば中に空気が閉じこめられるので，膜の両側に気圧差があり，解は極小曲面とはなりません．この場合は，中の空気が閉じこめられているため，その容積が一定という条件のもとでの面積の変分問題に対応しています．

　シャボン玉は中の空気が閉じこめられていますから，極小曲面ではありません．実は，体積固定の表面積の変分問題は，平均曲率一定曲面に対応しています．曲面の各点で曲がり方が最もきつい方向と緩やかな方向がありますが，平均曲率とは２方向の曲率の相加平均で定義されます．

　すなわち，平均曲率が一定（≠０）の曲面は，体積一定のまま表面積を最小にすることによって得られるのですが，等周問題の解である球面（シャボン玉）はその自明な例です．（一方，平均曲率が恒等的に０である曲面は極小曲面と呼ばれ，これがプラトー問題の数学的な定式化でした．）

　詳細は省略しますが，この問題の解はアンデュロイドと呼ばれるカテノイドとは別の平均曲率一定曲面になります．この曲面は楕円を直線上を転がしたときに，ひとつの焦点が描く波状の軌跡を直線のまわりに回転させたものになっています．

　前述したように，回転面で極小曲面は懸垂面（カテノイド）に限られたのですが，回転面で平均曲率一定曲面は球面とは限りません．このような曲面はドローネー曲面と呼ばれていますが，１８４１年，ドローネーは，平均曲率一定の回転面をすべて決定し，それが平面・円柱面・球面・懸垂面・アンデュロイド・ノドイドの６種に分類されることを示しました．回転面に限ると平均曲率一定曲面の数は意外に少ないのですが，これらはプラトーの回転面とも命名されています．

　また，これらは円錐の切断面である２次曲線（円・楕円・線分・放物線・双曲線）を，サイクロイドのように基線上を転がしたときに，焦点の描く軌跡を基線を軸として回転させることによってできる回転面であることも証明されています．母線が円のとき直円柱面，楕円のときアンデュロイド，線分のとき球面，放物線のとき懸垂面，双曲線のときノドイドが得られます．

　なお，ホップの予想「球面がただひとつの閉じた平均曲率一定曲面である」は正しいと思われていたのですが，１９８４年，ヴェンテによって，球面とは異なる平均曲率一定曲面の反例が発見されたのを契機に，平均曲率一定曲面の研究は大きな進展をみせることとなりました．

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