■立方体の断面(その12)

 これまでのまとめをすると,n半立方体Hnのファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

 2次元:(2,1)

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

 7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)

である.

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 H3では,(4,6,4)

  4個の正三角形(3,3)と6個の線分(2,1)の合計は

  頂点数:4・3+6・2=24  (重複20)

  辺数:4・3+6・1=18   (重複12)

  面数:4・1

 H4では,(8,24,32,16)

  8個の正四面体(4,6,4)と8個の正四面体(4,6,4)の合計は

  頂点数:8・4+8・4=64  (重複56)

  辺数:8・6+8・6=96   (重複72)

  面数:8・4+8・4=64   (重複32)

  3次元面数:8・1+8・1=16

 H5では,(16,80,160,120,26)

  16個の正5胞体(5,10,10,5)と10個の正16胞体(8,24,32,16)の合計は

  頂点数:16・5+10・8=160     (重複144)

  辺数:16・10+10・24=400    (重複320)

  面数:16・10+10・32=480    (重複320)

  3次元面数:16・5+10・16=240  (重複120)

  4次元面数:16・1+10・1=26

 H6では,(32,240,640,640,252,44)

  32個の正5胞体(6,15,20,15,6)と12個のH5(16,80,160,120,26)の合計は

  頂点数:32・6+12・16=384       (重複352)

  辺数:32・15+12・80=1440      (重複1200)

  面数:32・20+12・160=2560     (重複1920)

  3次元面数:32・15+12・120=1920  (重複1280)

  4次元面数:32・6+12・26=504     (重複252)

  5次元面数:32・1+12・1=44

 n>3ではn−2次元面数は合計/2になるようだ.

 H7では,(64,672,2240,2800,1624,532,78)

  64個の6次元正単体(7,21,35,35,21,7)と14個のH6(32,240,640,640,252,44)の合計は

  頂点数:64・7+14・32=896        (重複832)

  辺数:64・21+14・240=4704      (重複4032)

  面数:64・35+14・640=11200     (重複8960)

  3次元面数:64・35+14・640=11200  (重複8400)

  4次元面数:64・21+14・252=4872   (重複3248)

  5次元面数:64・7+14・44=1064     (重複532)

  6次元面数:64・1+14・1=78

 n=7でもn−2次元面数は合計/2になる.

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