ふたたび，半立方体に話を戻そう．

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【１】ｎ次元の立方体

　立方体は８頂点（±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができる．たとえば，その頂点は（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）の合計４頂点である．

　ひとつの頂点からは（３，２）＝３本のベクトルがでるが，（１，１，１）を中心として他の３頂点と結んだベクトルは（０，−２，−２），（−２，０，−２），（−２，−２，０）であり，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１），（−１，１，−１，１），（−１，−１，１，１），（−１，−１，−１，−１）の合計８頂点が得られる．

　これらは４頂点（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）と中心に対する対称な４頂点の合計８頂点であって，互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことがわかる（４次元空間の特殊性）．すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができることになる．ひとつの頂点からは（４，２）＝６本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では何になるのだろうか？　５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．

　（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

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