杉岡幹生氏のＨＰの記事
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page132.htm
に面白い記述をみつけました．正項級数Ｓ
Ｓ＝１＋１／√２＋１／√３＋１／√４＋・・・＝ζ(1/2)
は発散しますが，交代級数
Ｔ＝１−１／√２＋１／√３−１／√４＋・・・
を考えて
Ｔ＝Ｓ−２（１／√２＋１／√４＋・・・）
＝Ｓ−２／√２（１＋１／√２＋１／√３＋１／√４＋・・・）
＝（１−√２）Ｓ
ここで交代級数Ｔは収束しますから，ζ(1/2)は
ζ(1/2)＝Ｓ＝Ｔ／（１−√２）
として求めることができるというわけです．
ζ(1/2)=-1.46035
は普通の意味では無限大になっているはずですが，奇妙なことに発散しません．この方法はRe(s)＞０へのζ(s)の解析接続を与えるもう一つの方法ということになります．
ζ(1/2)=-1.46035
はオイラー・マクローリンの和公式によっても求めることができます．（その１７）ではオイラーシステムと杉岡幹生氏のテイラーシステムを紹介しましたので，今回のコラムではマクローリンシステムとでも呼ぶべき，オイラー・マクローリンの和公式を紹介します．
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【１】マクローリンシステム
オイラー・マクローリンの和公式は，オイラー(1736)とマクローリン(1742)が独立にベキ和Σｎ^kや逆ベキ和Σ１／ｎ^kの計算を微積分を使って計算する道具として開発したものです．
Σf(i)=∫(0,n)f(x)dx+1/2{f(n)-f(0)}+1/12{f'(n)-f'(0)}-1/720{f^(3)(n)-f^(3)(0)}+1/30240{f^(5)(n)-f^(5)(0)}+･･･
この公式を使えば，f(i),f'(i),f^(3)(i),･･･を計算することで，たとえｎ=10^6までの和であっても簡単によい近似値が得らます．
ベルヌーイ数Ｂ2kを使えば，この公式は
Σf(i)=∫(0,n)f(x)dx+1/2{f(n)-f(0)}+ΣＢ2k/(2k)!{f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(0)}
となります．また，この公式を有限個で打ち切って，剰余項を表示すると
R=(-1)^(k-1)/(k)!∫Ｂk(x)f^(k)(x)dx
ここで，Ｂk(x)はベルヌーイ多項式（０≦ｘ≦１）で
Ｂ1(x)=x-1/2，｜Ｂ1(x)｜≦1/2
Ｂ2(x)＝x^2-x+1/6，｜Ｂ2(x)｜≦1/6
Ｂ3(x)=x^3-3/2･x^2+1/2･x，｜Ｂ3(x)｜≦√3/36
Ｂ4(x)=x^4-2x^3+x^3-1/30，｜Ｂ4(x)｜≦1/30
・・・・・・
を周期１で拡張したものです．Ｂ1(x)のグラフは周期１の鋸歯曲線，Ｂ2(x)，Ｂ3(x)，・・・と進むにつれてなだらかな波形曲線となります．
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あるいは，同じことですが，
Ｐ(x)＝ｘ−［ｘ］−１／２
Ｐ1(x)＝Ｐ(x)，Ｂ1(x)＝Ｐ
Ｐn+1(x)＝∫(0,x)Ｐn(t)dt
で定義される関数で，積分定数を
Ｐn+1(1)＝∫(0,1)Ｐn(t)dt＝０
を満たすように選択します．
Ｐ2(x)＝1/2･x^2-1/2･x+1/12，
Ｐ3(x)=1/6･x^3-1/4･x^2+1/6･x，
・・・
関数Ｐを使えば，オイラー・マクローリンの和公式は
Σf(i)=∫(1,n)f(x)dx+1/2{f(n)+f(1)}+∫(1,n)Ｐ(x)f'(x)dx
Σf(i)=∫(1,n)f(x)dx+1/2{f(n)+f(1)}+1/12{f'(n)-f'(1)}-∫(1,n)Ｐ2(x)f''(x)dx
Σf(i)=∫(1,n)f(x)dx+1/2{f(n)+f(1)}+ΣＢ2k/(2k)!{f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1)}+R
R=∫(1,n)Ｐ2k+1(x)f^(2k+1)(x)dx
なお，この関数Ｐは
Ｐ(x)＝x-1/2=-1/πΣsin(2πnx)/n
とフーリエ展開されます．この式は１次のベルヌーイ多項式のフーリエ展開と本質的に等しいものになっているというわけです．
Ｐ(x)＝-Σ2sin(2πnx)/2πn
Ｐ2k(x)＝(-1)^(k-1)Σ2cos(2πnx)/(2πn)^2k
Ｐ2k+1(x)＝(-1)^(k-1)Σ2sin(2πnx)/(2πn)^2k+1
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【２】マクローリンシステムの応用
オイラー・マクローリンの公式は，調和級数や対数の和（ベキ乗）の計算にも応用することができます．
f(x)=1/xとおくと，
ζn(1)＝Σ１／ｋ＝log(n)+1/2+1/2n-∫(1,n)Ｐ(x)/x^2dx
Σ1/i=γ+logn+1/2n-1/12n^2+1/120n^4-1/252n^6+1/240n^8+R
より，オイラー定数が得られます．
f(x)=log(x)とおくと，
Σf(i)=log(n!)
となりますが，オイラー・マクローリンの公式より
Σf(i)=log(n!)=∫(1,n)logxdx+1/2logn+∫(1,∞)Ｐ(x)/xdx
ここで，
∫logxdx=xlogx-x,d/dx(logx)=1/x
γ=1+∫(1,∞)Ｐ(x)/xdx=1/2log2π
なので，スターリングの公式
log(n!)=(n+1/2)logn-n+1/2log2π-∫(1,∞)Ｐ(x)/xdx
n!=√(2πn)n^nexp(-n)
が得られます．
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【３】ゼータ関数への応用
ここで，リーマンのゼータ関数について，簡単に復習しておきましょう．
ζ（ｓ）＝Σｋ^(-s)
をリーマンのゼータ関数と呼びます．
ζn(s)＝Σ１／ｋ^s＝１＋１／２^s＋１／３^s＋・・・＋１／ｎ^s
と定義すると，ｎ→∞のときζn(s)→ζ(s)になります．
f(x)＝ｘ^(ｰs)とおいてみると
ζn(s)＝Σ１／ｋ^s＝∫(1,n)1/x^sdx+1/2{1+1/n^s)-s∫(1,n)Ｐ(x)/x^(s+1)dx
これより，ゼータ関数に対するオイラー・マクローリンの和公式の応用例
ζ(s)＝1/(s-1)+1/2-s∫(1,∞)(x-[x]-1/2)/x^(s+1)dx
が得られます．
この式の右辺の積分はRe(s)＞０で絶対収束します．すなわち，この式はRe(s)＞０へのζ(s)の解析接続を与えていることになります．また，ｓ＝１が極であることも見て取れます．このことから０＜Re(s)＜１のときのζ(s)の値もオイラー・マクローリンの和公式を使って意味をもたせることができます．
オイラー・マクローリンの和公式は，ベルヌーイ数Ｂ2kを使えばさらに左側に進むことができます．
ζ(s)=1/(s-1)+1/2+ΣB2ks(s+1)･･･(s+2k-2)/(2k)!-s(s+1)･･･(s+2m)∫(1,∞)(-1)^(m-1)Σ2sin2πnx/(2πn)^(2m+1)/x^(s+2m+1)dx
右辺の積分はRe(s)>-2mであれば存在し，s>-2m,s≠1なるすべてのｓについて定義することができます．
たとえば，半整数点での値
ζ(1/2)=-1.46035
を求めるには，s=1/2とおくと
1/(s-1)+1/2=-1.5
1/(s-1)+1/2+B2/2!･1/2=-1.5+1/24=-1.45833
1/(s-1)+1/2+B2/2!･1/2+B4/4!･15/8=-1.5+1/24-1/384=-1.46094
1/(s-1)+1/2+B2/2!･1/2+B4/4!･15/8+B6/6!･105/16=-1.5+1/24-1/384+1/1536=-1.46029
冒頭に掲げた
ζ(1/2)＝Ｓ＝Ｔ／（１−√２）
は収束速度は遅いのですが，この計算ではわずか数項で概収束していますから，計算効率がよさそうです．なお，ｎ→∞のとき，ζn(s)→ζ(s)は
ζn(s)＝ζ(s)+1/n^(s-1)-s∫(n,∞)[x]/x^(s+1)dx
からも同様の主張を導くことができます．
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【４】ポアソンの和公式
オイラーは１７４４年，史上初めて代数関数
π(1/2-x)=Σsin(2πnx)/n
を三角関数で表しています．ここでｘ＝１／４とおけばライプニッツ級数
Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)=π／４
がπ／４を表すという事実の別証明が得られます．
また，この式はオイラー・マクローリンの公式の基礎となり，ポアソンの和公式も導き出されます．
Σf(i)=∫(1,n)f(x)dx+1/2{f(n)+f(1)}+2Σ∫(1,n)f(x)cos2πmxdx
Σf(i)=1/2{f(p)+f(q)}+Σ∫(p,q)f(x)exp(2πimx)dx
∫(p,q)f(x)exp(2πimx)dx={f(q)-f(p)}/2πim-{f'(q)-f'(p)}/(2πim)^2+∫(p,q)f''(x)exp(2πimx)dx/(2πim)^2
ポアソンの和公式が応用される級数としてはテータ関数が上げられます．
θ(y)=Σexp(-πn^2t)=1+2Σexp(-πn^2y) (y>0)
ζ（ｓ）の重要な性質（の一部）は，テータ関数に関するヤコビの恒等式
Σｅｘｐ（−πｍ^2／ｔ）＝√ｔΣｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）
すなわち，
θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）
とおくと，
θ（１／ｔ）＝√ｔθ（ｔ）
およびガンマ関数
Γ（ｓ）＝∫(0,∞)ｔ^(s-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ
から導出されます．
これらを用いると
ξ（ｓ）＝π^(-s/2)Γ（s/2）ζ（ｓ）
＝∫(0,∞)1/2{θ（ｔ）−１}ｔ^(s/2-1)ｄｔ
＝π^(-(1-s)/2)Γ（(1-s)/2）ζ（１−ｓ）
より，関数等式
ξ（ｓ）＝ξ（１−ｓ）
が得られます．
ｓを複素変数とするとき，関数等式
ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)
を用いればζ(s)をｓ＝１（極）を除くすべての複素数に対して意味をもたせることができ，ｓを−１とすると値が−１／１２，２とすると値が０になるというわけです．Γはガンマ関数です．
また，
ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)
あるいは
ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)
で定義すると
ξ(s)=ξ(1-s)
のように完全に左右対称な美しい形に書くことができます．ガンマ関数はゼータ関数の仲間と思ってほしい所以です．
関数等式は
(1)ｓを複素変数として複素全平面への解析接続を与えることができること
(2)ζ(s)がRe(s)=1/2を対称軸とする美しい対称性をもっていること
を示しています．
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ゼータ関数は，オイラーの積表示
ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
を通して素数分布＝＃｛ｎ｜素数ｐ≦ｘ｝の問題に関係してきます．オイラーはオイラー積表示の関係式を用いて，素数が無限個あること，しかも自然数の中で相当な割合で現れるという事実を証明をしたのですが，これはギリシャ数学の単なる別証ではなく，その後の数学の発展に繋がるものだったのです．
そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ
と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．
π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ Ｃ＝１／φ（ｎ）
算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数
φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）
として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．
１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，
φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・
であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，
φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４
φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０
φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０
また，任意の素数ｐに対して，
φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）
したがって，
φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１
となります．
なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数
Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)
χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現
が用いられます．
跡公式とは非可換版のポアソンの和公式と考えられますが，数論的にみれば，素数とゼータの零点を橋渡しする公式の総称で，具体的には，
Σｆ（ｐ）＝Σｆ~（λ）
の形の等式として書くことができます．ここで，ｆ~はｆから決まり，逆にｆもｆ~から定まるフーリエ変換みたいなものと考えて下さい．
正規分布のフーリエ変換は再び正規分布になりますから，まったく無関係に思われるヤコビの恒等式
θ（１／ｔ）＝√ｔθ（ｔ）
も，オイラー積＝アダマール積
Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)＝−π^(-s/2)／ｓ（１−ｓ）Π（１−ｓ／λ）
も同じ範疇に属する公式であるということになります．
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【５】雑感
１７４９年にオイラーは発散級数を大胆に計算することによりこれらの結果をみいだしましたが，これらの式は現代数論では当然のことのように使われていて，リーマン・ゼータ関数の解析接続後にそれぞれ−１，−２，−３，−４での値として正当化されます．
無限大になるところをうまく引き去って有限の値をだすことを物理学の用語で「繰り込み」といいますが，オイラーの計算の仕方を紹介すると
φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･=(1-2^(1-s))ζ(s)
より
φ(0)=-ζ(0),φ(-1)=-3ζ(-1),φ(-2)=-7ζ(-2),φ(-3)=-15ζ(-3)
また，
f(x)=1+x+x^2+x^3+･･･=1/(1-x)
g(x)=xdf(x)/dx=x+2x^2+3x^3+4x^4+･･･=x/(1-x)^2
h(x)=xdg(x)/dx=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+･･･=x(1+x)/(1-x)^2
より
f(-1)=φ(0)=1/2,g(-1)=-φ(-1)=-1/4,h(-1)=-φ(-2)=0
これから
ζ(0)=-1/2,ζ(-1)=-1/12,ζ(-2)=0,･･･
となる．
オイラーの計算は，交代級数
φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･=(1-2^(1-s))ζ(s)
を用いるもので，杉岡氏の計算
Ｓ＝１＋１／√２＋１／√３＋１／√４＋・・・＝ζ(1/2)
Ｔ＝１−１／√２＋１／√３−１／√４＋・・・
Ｔ＝Ｓ−２（１／√２＋１／√４＋・・・）
＝Ｓ−２／√２（１＋１／√２＋１／√３＋１／√４＋・・・）
＝（１−√２）Ｓ
ζ(1/2)＝Ｓ＝Ｔ／（１−√２）
と本質的に同等です．杉岡氏は自らその方法に気づいたことになります．
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