４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，−１，０，０），±（１，０，−１，０），±（１，０，０，−１）

　　±（０，１，−１，０），±（０，１，０，−１），±（０，０，１，−１）

からなる図形ができる．

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　これが立方八面体ｆ＝（１２，２４，１４）になることは，辺と対角線の長さ，角度を求めてみるしかなさそうである．

　　（１，−１，０，０）−（１，０，−１，０）：√２

　　　　　　　　　　　　−（−１，０，１，０）：√６

　　　　　　　　　　　　−（１，０，０，−１）：√２

　　　　　　　　　　　　−（−１，０，０，１）：√６

　　　　　　　　　　　　−（０，１，−１，０）：√６

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，１，０）：√２

　　　　　　　　　　　　−（０，１，０，−１）：√６

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，０，１）：√２

　　　　　　　　　　　　−（０，０，１，−１）：２

　　　　　　　　　　　　−（０，０，−１，１）：２

　辺の長さ√２，１頂点から辺の本数は４である．

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　次に辺同士のなす角度を計算する．

　　（１，−１，０，０）−（１，０，−１，０）：（０，−１，１，０）

　　　　　　　　　　　　−（１，０，０，−１）：（０，−１，０，１）

　内積は１であるから，ｃｏｓθ＝１／２→θ＝π／３

　　（１，−１，０，０）−（１，０，−１，０）：（０，−１，１，０）

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，１，０）：（１，０，−１，０）

　内積は−１であるから，ｃｏｓθ＝−１／２→θ＝２π／３

　　（１，−１，０，０）−（１，０，−１，０）：（０，−１，１，０）

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，０，１）：（１，０，０，−１）

　内積は０であるから，ｃｏｓθ＝０→θ＝π／２

　　（１，−１，０，０）−（１，０，０，−１）：（０，−１，０，１）

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，１，０）：（１，０，−１，０）

　内積は０であるから，ｃｏｓθ＝０→θ＝π／２

　　（１，−１，０，０）−（１，０，０，−１）：（０，−１，０，１）

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，０，１）：（１，０，０，−１）

　内積は−１であるから，ｃｏｓθ＝−１／２→θ＝２π／３

　　（１，−１，０，０）−（０，−１，１，０）：（１，０，−１，０）

　　　　　　　　　　　　−（０，−１，０，１）：（１，０，０，−１）

　内積は１であるから，ｃｏｓθ＝１／２→θ＝π／３

　π／３が２組，π／２が２組，２π／３が２組・・・これで立方八面体ｆ＝（１２，２４，１４）になることを確認できたことになる．

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