■単純リー環を使った面数数え上げ（その１５６）
（その１５３）−（その１５６）で，座標変換の影響はないことが確かめられたが，初期値に誤りがあったので，ここでは５回回転対称図形の初期値を与えておきたい．
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【１】正５角形と正１０角形
１辺の長さ１の正５角形の面積は
１／２・ｔａｎ５４°×５／２＝｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４
で与えられる．
１辺の長さ１の正１０角形の面積は
１／２・ｔａｎ７２°×５／２＝｛（５＋２√５）｝^1/2・１０／４
で与えられる．
別の方法で検算してみよう．正１０角形は正５角形の辺を１：τ：１に内分して得られる．このとき，辺の長さはτ／（τ＋２）となる．
切頂される面積は
（τ／（τ＋２））^2・ｔａｎ３６°×５／４
＝１／５・（５−２√５）^1/2・５／４
であるから，１辺の長さがτ／（τ＋２）の正１０角形の面積は
｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４−１／５・｛（５−２√５）｝^1/2・５／４
１辺の長さが１の正１０角形の面積は
（τ／（τ＋２））^2＝１／５
で割って
｛５（５＋２√５）｝^1/2・５／４−｛（５−２√５）｝^1/2・５／４
＝｛４（５＋２√５）｝^1/2・５／４
＝｛（５＋２√５）｝^1/2・１０／４
となって，正しいことが確認された．
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【２】正１２面体と正２０面体
初期値
正２０面体：５τ^2／６
正１２面体：τ^4√５／２
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【３】切頂２０面体の体積
正２０面体の各辺を３等分したところで切頂すると，正五角形と正六角形で囲まれた図形ができる．これがサッカーボールであるが，その体積を求めてみよう．
必要ならば１辺の長さ１の体積
正２０面体：５τ^2／６＝（１５＋５√５）／１２
正１２面体：τ^4√５／２＝（１５＋７√５）／４
を既知としてもよい．
正２０面体が正１２面体の正五角形面の上に五角錐を載せたものであれば計算は簡単であるが，そううまくはいかないものである．そこで，奥の手をだそう．
コラム「単純リー環を使った面数数え上げ（その１４２）」のように，正２０面体の場合，ｐ＝３，ｑ＝５，ｈ＝１０を代入すると
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，√（１／３），（√５＋１）／√３（√５−１））
となって，
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）
と一致する．
ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝τ^2／√３
サッカーボールは，正２０面体系｛３，５｝（１１０）であるから，
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
を計算して
１−ｙ1＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝Ｌ
（ｙ2−ｙ3）／√（３＋３／τ^4）＝０→ｙ2＝ｙ3＝０，ｙ1＝２／３（辺の三等分点），Ｌ＝１／３
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖，‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ｃ0＝ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2−ａ1^2ｙ1＝１＋１／３＋τ^4／３−２／３
ｄ0＝（１＋１／３＋τ^4／３）^1/2＝（４／３＋τ^4／３）^1/2
ｈ0＝（２＋τ^4）／３・√｛３／（４＋τ^4）｝
辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，
Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ0＝（２＋τ^4）／２・√｛３／（４＋τ^4）｝
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，−ａn）
ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ｄn-1‖，‖ｄn-1‖＝（ａn^2）^1/2
ａn^2ｙn＝０
→ｈ2＝ａ3＝τ^2／√３，Ｈ2＝ｈ2／２Ｌ＝τ^2√３／２
また，
→Ｖ2＝１／２・ｔａｎ５４°×５／２＝｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４（正五角形の面積）
→Λ2＝３√３／２（正六角形の面積）
Ｖ＝（Ｎ0・Ｖ2・Ｈ0＋Ｎ2・Λ2・Ｈ2）／３
＝｛１２・５｛（５＋２√５）／５｝^1/2／４・（２＋τ^4）／２√（τ√５）＋２０・３√３／２・τ^2√３／２｝／３
＝５／２・τ／√５・（２＋τ^4）＋１５τ^2
なお，
［１］中心から正五角形面までの距離
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）＝２．３２７４４
［２］中心から正六角形面までの距離
Ｈ2＝τ^2√３／２＝２．２６７２８
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