３次元正軸体系

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝√（２／３）

について

　　｛３，４｝（１００）：√２／３

　　｛３，４｝（０１０）：５√２／３

　　｛３，４｝（００１）：１

　　｛３，４｝（１１０）：８√２

　　｛３，４｝（１０１）：（１２＋１０√２）／３

　　｛３，４｝（０１１）：（２１＋１４√２）／３

　　｛３，４｝（１１１）：２２＋１４√２

が，座標変換しても同じ体積になるか検算しておきたい．

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ1ｇ1Ｈ1Ｖ1Λ1＋ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３

　　Λ0＝Λ1＝１

　　ｇ（ｎ，ｋ）＝（ｎ，ｋ＋１）２^k+1

　　ｇ0＝ｇ（３，０）＝（３，１）２＝６

　　ｇ1＝ｇ（３，１）＝（３，２）４＝１２

　　ｇ2＝ｇ（３，２）＝（３，３）８＝８

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【１】初期値

［１］２次元正単体系

　　｛３｝（１０）：√３／４

　　｛３｝（０１）：√３／４

　　｛３｝（１１）：３√３／２

［２］２次元正軸体系

　　｛４｝（１０）：１

　　｛４｝（０１）：１

　　｛４｝（１１）：２＋２√２

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［１］｛３，４｝（１００）：√２／３

　　ｂ＝（００１）

より

　　Ｖ3＝｛ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３

　また，ｙ0＝１，ｙ3＝０

　　（ｙ0−ｙ1）／√（１／ａ1）^2＝Ｌ

　　（ｙ1−ｙ2）／√｛（１／ａ1）^2＋（１／ａ2）^2｝＝（ｙ2−ｙ3）／√｛（１／ａ2）^2＋（１／ａ3）^2｝＝０→ｙ1＝ｙ2＝ｙ3＝０，Ｌ＝１

　　ｃ2＝ａ3^2（１−ｙ3）＝２／３

　　‖ｄ2‖＝（ａ3^2）^1/2＝√（２／３）

　　ｈ2＝｜ｃ2｜／‖ｄ2‖＝√（２／３）

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ2＝１／２・√（２／３）

　　Λ2＝√３／４

　以上より

　　Ｖ3＝｛ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３＝８・１／２・√（２／３）・√３／４／３＝√２／３　　（一致）

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［２］｛３，４｝（０１０）：５√２／３

　　ｂ＝（１０１）

より

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３

　また，ｙ0＝１，ｙ3＝０

　　（ｙ0−ｙ1）／√（１／ａ1）^2＝（ｙ2−ｙ3）／√｛（１／ａ2）^2＋（１／ａ3）^2｝＝０

　　（ｙ1−ｙ2）／√｛（１／ａ1）^2＋（１／ａ2）^2｝＝Ｌ

→ｙ0＝ｙ1＝１，ｙ2＝ｙ3＝０，Ｌ＝１／２

　　ｃ0＝ａ1^2（１−ｙ1）＋ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝１

　　‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝√２

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖＝１／√２

　　ｃ2＝ａ3^2（１−ｙ3）＝２／３

　　‖ｄ2‖＝（ａ3^2）^1/2＝√（２／３）

　　ｈ2＝｜ｃ2｜／‖ｄ2‖＝√（２／３）

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ

→Ｈ0＝１／√２，Ｈ2＝√（２／３）

　　Ｖ2＝１，Λ2＝√３／４

　以上より

　３Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝＝６・１／√２＋８・√（２／３）・√３／４＝５√２

　Ｖ3＝５√２／３　　（一致）

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［３］｛３，４｝（００１）：１

　　ｂ＝（１００）

より

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0｝／３

　また，ｙ0＝１，ｙ3＝０

　　（ｙ0−ｙ1）／√（１／ａ1）^2＝（ｙ1−ｙ2）／√｛（１／ａ1）^2＋（１／ａ2）^2｝＝０

　　（ｙ2−ｙ3）／√｛（１／ａ2）^2＋（１／ａ3）^2｝＝Ｌ

→ｙ0＝ｙ1＝ｙ2＝１，ｙ3＝０，Ｌ＝√２／３

　　ｃ0＝ａ1^2（１−ｙ1）＋ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝２／３

　　‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝√２

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖＝√２／３

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ0＝１／２

　　Ｖ2＝１

　以上より

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0｝／３＝６・１／２・１／３＝１　　（一致）

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