任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せますが，

　　７，１５，２３，３１，３９，４７，・・・，８ｎ＋７

は３つの平方数の和としては表せない．

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　平方数を８で割ると，０，１，４余る．

（証明）

　２で割りきれるが４では割りきれない偶数の平方→８で割ると余りは４

　４で割りきれる偶数の平方→８で割ると余りは０

したがって，

　偶数の平方→８で割ると余りは４か０

　奇数（２ｎ＋１）の平方＝４ｎ（ｎ＋１）＋１→８で割ると余りは１

したがって，

　３つの平方数の和→８で割ると余りは４か０か３

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　以上のことより

　　７，１５，２３，３１，３９，４７，・・・，８ｎ＋７

は３つの平方数の和としては表せない．

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