■四元数体と3次元の回転(その4)

 平面の回転を表す

  cosθ+1sinθ

と同じ役割をする四元数を考える.

 回転軸

  λi+μj+νk

はOの回りに角θだけ回転する場合,空間の回転は四元数

  cos(θ/2)+(λi+μj+νk)sin(θ/2)

によって表される.

 空間の回転を表す四元数表示である.一見したところ,θ/2は間違いのように見えるかもしれないが,そうではない.以下の例で示そう.

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 実部をw,虚部をvとし,

   q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)

   q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)

と表すことにすると,

  q1+q2=(w1+w2,v1+v2)

  q1・q2=(w1w2−(v1・v2),w1v2+w2v1+(v1×v2))

と表せる.

 ここで,3次元空間内の任意の点を位置ベクトルpで表し,軸nの周りにθだけ回転したベクトルをRpとし,Rpをp,n,θを用いて表そう.

  nに直交するベクトル:q=p−(p・n)n

  nとpの外積:r=n×q=n×p

とすると

  Rp =cosθq+sinθr+(n・p)n

    =cosθp+(1−cosθ)(n・p)n+sinθ(n×p)

がわかる.

 次に,単位四元数q=(w,v)=(cosη,sinηn)を用いた変換

  Rp(h)=q・h・q~

を考える.q~=(w,−v)

 pを四元数の虚部とみなすと,

  Rp(p)=q・p・q~=(w,v)・(0,p)・(w,−v)

 =(0,(w^2−|v|^2)p+2(p・v)v+2w(v×p))

 =cos2ηp+(1−cos2η)(n・p)n+sin2η(n×p)

 したがって,θ=2ηとおけば,軸n周りのθ回転は単位四元数

  q=(cosθ/2,sinθ/2n)

で簡単に表せることがわかる.

 四元数は群,環,体などの代数的構造の理論という分野の中で不可欠な役割を担ったのであるが,1843年,ハミルトンが発見して以来3次元運動の力学系を記述するために使われてきて,スペースシャトルの制御でも利用されている.また,電磁気学や相対性理論,三次元の非ユークリッド幾何学の法則を記述するのにも応用されているそうだ.

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【1】考察

 四元数ω=(1+i+j+k)/2は単位四元数である.一方,軸n周りのθ回転は単位四元数

  q=(cosθ/2,sinθ/2n)

で表せるから

  θ/2=π/3,n=(1/√3,1/√3,1/√3)

すなわち,(1,1,1)方向を軸とする120°回転に対応している.

 同様に,

  ω^2=(−1+i+j+k)/2

はθ/2=2π/3,n=(1/√3,1/√3,1/√3)より(1,1,1)方向を軸とする240°回転,

  ω^4=−(1+i+j+k)/2

はθ/2=−π/3,n=(1/√3,1/√3,1/√3)より(1,1,1)方向を軸とする−120°回転,

  ω^5=(1−i−j−k)/2

はθ/2=−π/3,n=(1/√3,1/√3,1/√3)より(1,1,1)方向を軸とする−120°回転.

  q=±1

はθ/2=±π,n=(0,0,0)より無回転(恒等写像)であるが,

  q=±i

はθ/2=±π/2,n=(1,0,0)より(1,0,0)方向=x軸を軸とする±90°回転に対応している.

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